Bài Giảng Toán Cao Cấp
Chương 3. Tích phân đường và tích phân mặt
3.6.1. Mặt định hướng
Mặt cong S trơn gọi là định hướng được nếu vectơ pháp tuyến đơn vị \( \vec{n}(M) \) hoàn toàn xác định tại mọi \( M\in S \) (có thể trừ biên của S) và biến đổi liên tục khi M chạy trên S. Tập hợp \( \vec{n}(M),\,\,\forall M\in S \) của mặt cong có định hướng xác định phía dương của mặt cong, là phía mà người ta đứng đó thì \( \vec{n}(M) \) hướng từ chân lên đầu. Vì rằng \( -\vec{n}(M) \) cũng là vectơ pháp tuyến nên mặt định hướng luôn có hai phía.
Khi mặt cong S không kín định hướng được, người ta thường dùng từ phía trên và phía dưới để chỉ hướng đã xác định bởi \( \vec{n}(M) \). Phía trên của mặt S là phía mà \( \vec{n}(M) \) lập với trục Oz góc nhọn, còn phía dưới là phía mà \( \vec{n}(M) \) lập với trục Oz góc tù.
Khi mặt cong S kín định hướng được, người ta dùng từ phía trong và phía ngoài để mô tả hướng đã xác định. Phía ngoài là phía mà \( \vec{n}(M) \) hướng ra phía ngoài vật thể V bao quanh bởi mặt cong S, phía trong là phía ngược lại. (H.3.16).
Có mặt cong không định hướng được, chẳng hạn mặt cong sau đây gọi là lá Mobius được tạo như sau: Lấy chữ nhật ABCD vặn cong để hai đầu gắn nhau sao cho A trùng với C và B trùng với D (H.3.17). Xác định một vectơ \( \vec{n}(M) \) tại M nào đó của lá Mobius và cho M di chuyển theo lá không cắt biên một vòng về lại điểm ban đầu thì \( \vec{n}(M) \) đối hướng. Chứng tỏ \( \vec{n}(M) \) không biến thiên liên tục. Vậy lá Mobius là mặt một phía.
Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 2 - Calculus II Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán Cao Cấp gồm:
- Giải Tích 1, Giải Tích 2, Giải tích 3
- Đại Số Tuyến Tính, Xác Suất Thống Kê
- Sách Giải Bài Tập của bộ môn Toán Cao Cấp!
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
3.6.2. Định nghĩa
Cho mặt cong S đã định hướng theo phía trên hoặc phía dưới. Tức là vectơ pháp tuyến \( \vec{n}(M) \) lập với trục Oz một góc nhọn (hoặc góc tù) và hàm R(x,y,z) xác định trên S.
Chia mặt cong S thành n mảnh không dẫm lên nhau \( \Delta {{S}_{i}},\,\,i=\overline{1,n} \). Kí hiệu đường kính của mảnh thứ i là \( {{d}_{i}},\,\,i=\overline{1,n} \). Gọi \( \Delta {{D}_{i}} \) là hình chiếu của \( \Delta {{S}_{i}} \) lên mặt tọa độ Oxy kèm theo dấu xác định theo quy tắc: S định hướng theo phía trên thì \( \Delta {{D}_{i}} \) có dấu dương, còn S định hướng theo phía dưới thì \( \Delta {{D}_{i}} \) có dấu âm, \( i=\overline{1,n} \).
Lấy tùy ý \( {{M}_{i}}({{x}_{i}},{{y}_{i}},{{z}_{i}})\in \Delta {{S}_{i}},\,\,i=\overline{1,n} \).
Lập tổng \( {{I}_{n}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{R({{x}_{i}},{{y}_{i}},{{z}_{i}})\Delta {{D}_{i}}} \) gọi là tổng tích phân mặt loại hai của hàm R(x,y,z) lấy trên mặt cong S đã định hướng ứng với một cách chia và một cách chọn \( {{M}_{i}}\in \Delta {{S}_{i}},\,\,i=\overline{1,n} \).
Nếu khi \( n\to \infty \) sao cho \( \max {{d}_{i}}\to 0 \) mà In hội tụ về số I không phụ thuộc cách chia S và cách chọn \( {{M}_{i}}\in \Delta {{S}_{i}} \) thì số I gọi là tích phân mặt loại hai của biểu thức \( R(x,y,z)dxdy \) trên mặt cong S đã định hướng và kí hiệu:
\( I=\iint\limits_{S}{R(x,y,z)dxdy}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3.32) \)
Tương tự, nếu chiếu lên các mặt phẳng Oyz và Oxz và thêm các hàm \( P(x,y,z),\,\,Q(x,y,z) \) xác định trên S thì ta gọi: \( I=\iint\limits_{S}{P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3.33) \)
Là tích phân mặt loại hai của các hàm P, Q, R chính xác hơn là của biểu thức \( Pdydz+Qdzdx+Rdxdy \) lấy trên mặt cong S đã định hướng.
Chú ý:
(a) Theo định nghĩa, nếu đổi hướng (phía ngược lại của S) thì tích phân mặt loại hai sẽ đổi dấu.
(b) Công thức (3.33) mô tả thông lượng của trường vectơ \( \vec{F}=P\vec{i}+Q\vec{j}+R\vec{k} \) qua mặt cong S đã định hướng.
\( \Phi =\iint\limits_{S}{Pdydz+Qdzdx+Rdxdy}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3.34) \)
Để thấy rõ ý nghĩa thực tế của tích phân mặt loại hai và từ “thông lượng” ta xét bài toán sau đây: Giả sử có một dòng chất lỏng trong miền \( V\subset {{\mathbb{R}}^{3}} \) và trong miền V có một mặt cong S định hướng với vectơ pháp tuyến \( \vec{n}(M),\,\,M\in S \). Giả sử tốc độ của dòng chất lỏng là \( \vec{v}(M) \) (H.3.18). Hãy tính lượng chất lỏng chảy qua S trong một đơn vị thời gian.
Trước hết ta tính trong một thời gian, lượng chất lỏng chảy qua yếu tố diện tích dS của mặt cong S. Vì mảnh dS là rất bé nên có thể coi vectơ \( \vec{n}(M) \) và vectơ vận tốc \( \vec{v}(M) \) là vectơ hằng tại mọi điểm \( M\in dS \). Vậy lượng chất lỏng chảy qua dS sẽ là (cột chất lỏng) \( d\phi =\vec{v}\cdot \vec{n}\cdot dS \).
Gọi các thành phần của \( \vec{v}=({{v}_{x}},{{v}_{y}},{{v}_{z}}) \) và \( \vec{n}=(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma ) \) thì:
\( \Phi =\iint\limits_{S}{({{v}_{x}}\cos \alpha +{{v}_{y}}\cos \beta +{{v}_{z}}\cos \gamma )dS}=\iint\limits_{D}{{{v}_{x}}dydz+{{v}_{y}}dzdx+{{v}_{z}}dxdy}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3.35) \)
Đó chính là tích phân mặt loại hai của các hàm \( {{v}_{x}},{{v}_{y}},{{v}_{z}} \) trên S đã định hướng.
Công thức (3.35) đã mô tả mối liên hệ giữa tích phân mặt loại một và loại hai.
Trong trường hợp tổng quát khi có trường vectơ \( \vec{F}(P,Q,R) \) thì thông lượng của nó qua mặt cong S định hướng cho bởi công thức (3.34).
(c) Người ta cũng chứng minh rằng, nếu mặt S định hướng được, trơn hoặc trơn từng mảnh và các hàm P, Q, R liên tục trên S thì tích phân mặt loại hai (3.33) tồn tại.
(d) Tích phân mặt loại hai cũng có các tính chất như tích phân đường loại hai.
Sách Giải Bài Tập Giải Tích 2
3.6.3. Công thức tính
Định lí 3.6: Giả sử R(x,y,z) liên tục trên mặt cong định hướng S trơn cho bởi phương trình \( z=z(x,y),\,\,(x,y)\in D \).
Khi đó: \( \iint\limits_{S}{R(x,y,z)dzdy}=\pm \iint\limits_{D}{R(x,y,z(x,y))dxdy}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3.36) \)
Dấu (+) khi lấy tích phân mặt loại hai theo phía trên mặt S.
Dấu (-) khi lấy tích phân mặt loại hai theo phía dưới của S.
Chứng minh: Từ công thức (3.35) và (3.29)
\(\iint\limits_{S}{R(x,y,z)dxdy}=\iint\limits_{S}{R(x,y,z)\cos \gamma dS}=\iint\limits_{S}{R(x,y,z(x,y))\cos \gamma \frac{dxdy}{\left| \cos \gamma \right|}}\) nếu \(\cos \gamma \ne 0\) và \(\iint\limits_{S}{R(x,y,z)dxdy}=0\) nếu \(\cos \gamma =0\).
Vậy khi lấy theoo phía trên của mặt S tức là \( \cos \lambda \ge 0 \) thì \( \cos \gamma =\left| \cos \gamma \right| \). Do đó:
\(\iint\limits_{S}{R(x,y,z)dxdy}=\iint\limits_{D}{R(x,y,z(x,y))dxdy}\).
Còn khi lấy theo phía dưới của mặt S tức là \(\cos \gamma \le 0\) thì \(\cos \gamma =-\left| \cos \gamma \right|\). Do đó:
\(\iint\limits_{S}{R(x,y,z)dxdy}=-\iint\limits_{D}{R(x,y,z(x,y))dxdy}\).
Tương tự ta có: \( \iint\limits_{S}{P(x,y,z)dxdy}=\pm \iint\limits_{{{D}_{yz}}}{P(x(y,z),y,z)dydz}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3.37) \)
\(\iint\limits_{S}{Q(x,y,z)dxdy}=\pm \iint\limits_{{{D}_{zx}}}{Q(x,y(z,x),z)dzdx}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3.38)\)
Trong đó: \( {{D}_{yz}} \) là hình chiếu của S lên mặt Oyz và mặt S có phương trình: \( x=x(y,z),\,\,(y,z)\in D \); \( {{D}_{zx}} \) là hình chiếu của S lên mặt Ozx và mặt S có phương trình: \( y=y(z,x),\,\,(z,x)\in D \).
Chú ý: Khi lấy tích phân mặt loại hai, phải đặc biệt lưu ý đến việc định hướng của mặt S, tức là hướng của \( \vec{n}(M) \). Tùy theo \( \vec{n}(M) \) lập với các trục tọa độ góc nhọn hay tù mà xác định dấu cộng hay trừ trong các công thức (3.36), (3.37), (3.38).
Ví dụ 1. Tìm thông lượng của trường vectơ \( \vec{F}(z,0,{{x}^{2}}) \) qua phía trên của mặt \( z={{x}^{2}}+{{y}^{2}},\,\,-1\le x\le 1,\,\,-1\le y\le 1 \).
Hướng dẫn giải:
Mặt cong \( z={{x}^{2}}+{{y}^{2}} \) là paraboloid tròn xoay H.3.19 mô tả phần mặt cong nằm ở góc phần tám thứ nhất. Thông lượng tính theo công thức (3.35):
\( \Phi =\iint\limits_{S}{zdydz+{{x}^{2}}dxdy} \)
S được định hướng lên trên nên \( \cos \gamma \ge 0,\,\,\cos \alpha =\frac{-2x}{\sqrt{4{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}+1}} \). Do mặt cong S đối xứng qua các mặt tọa độ Oyz, Ozx nên \( \iint\limits_{S}{zdydz}=0 \) và \( \iint\limits_{S}{{{x}^{2}}dxdy}=4\iint\limits_{D}{{{x}^{2}}dxdy}=4\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}dx}\int\limits_{0}^{1}{dy}=\frac{4}{3} \) (D là hình vuông \( \left\{ \begin{align} & 0\le x\le 1 \\ & 0\le y\le 1 \\ \end{align} \right. \)).
Ví dụ 2. Tính \( I=\iint\limits_{S}{zdxdy} \) với S là phía ngoài của mặt cầu \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}={{R}^{2}} \).
Hướng dẫn giải:
Mặt cầu cho bởi H.3.20.
Chia mặt cầu thành nửa trên \( {{S}_{+}} \) và nửa dưới \( {{S}_{-}} \) có phương trình lần lượt là:
\( z=\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}} \) và \( z=-\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}} \).
Chiếu các nửa mặt cầu lên Oxy ta được hình tròn: \( D:\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le {{R}^{2}} \\ & z=0 \\ \end{align} \right. \).
\( I=\iint\limits_{{{S}_{+}}}{zdxdy}+\iint\limits_{{{S}_{-}}}{zdxdy} \).
Tích phân lấy theo phía trên của \( {{S}_{+}} \) và tích phân lấy theo phía dưới của \( {{S}_{-}} \),
Từ công thức (3.36) ta có:
\( \iint\limits_{{{S}_{+}}}{zdxdy}=\iint\limits_{D}{\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}dxdy} \)
\( \iint\limits_{{{S}_{-}}}{zdxdy}=-\iint\limits_{D}{\left( -\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}} \right)dxdy} \)
Vậy \( I=2\iint\limits_{S}{\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}dxdy} \).
Chuyển sang tọa độ cực ta có: \( I=2\int\limits_{0}^{2\pi }{d\varphi }\int\limits_{0}^{R}{\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}\cdot rdr}=\left. 2\pi \left( -\frac{2}{3}{{({{R}^{2}}-{{r}^{2}})}^{\frac{3}{2}}} \right) \right|_{0}^{R}=\frac{4}{3}{{R}^{3}} \).
Trong quá trình đăng tải bài viết lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, nên bạn đọc muốn xem đầy đủ các dạng bài tập giải chi tiết hãy vui lòng mua sách Giải bài tập Giải Tích 2!
