Bài Giảng Toán Cao Cấp

Định lí 3.1. Giả sử cung  \( \overset\frown{AB} \) trơn cho bởi phương trình:  \( y=y(x),\,\,a\le x\le b \) và hàm số  \( f(x,y) \) liên tục trên cung  \( \overset\frown{AB} \). Khi đó:  \( \int\limits_{\overset\frown{AB}}{f(x,y)ds}=\int\limits_{a}^{b}{f(x,y(x))\sqrt{1+{{{{y}’}}^{2}}(x)}dx}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3.6) \).

Chứng minh: Thực hiện phép chia cung  \( \overset\frown{AB} \) bởi các điểm \({{A}_{i}}({{x}_{i}},{{y}_{i}})\,\,\,(i=\overline{1,n})\) như định nghĩa đã trình bày.

Gọi  \( \Delta {{x}_{i}}={{x}_{i}}-{{x}_{i-1}},\,\,\Delta {{y}_{i}}={{y}_{i}}-{{y}_{i-1}}\,\,\,(i=\overline{1,n}) \) (xem H.3.1). Với  \( \Delta {{x}_{i}},\Delta {{y}_{i}} \) khá bé thì:

 \( \Delta {{s}_{i}}\approx \sqrt{\Delta x_{i}^{2}+\Delta y_{i}^{2}}=\sqrt{1+{{\left( \frac{\Delta {{y}_{i}}}{\Delta {{x}_{i}}} \right)}^{2}}}\cdot \left| \Delta {{x}_{i}} \right| \)

Theo công thức Lagrange, ta có:  \( \frac{\Delta {{y}_{i}}}{\Delta {{x}_{i}}}={y}'({{\xi }_{i}}),\,\,{{\xi }_{i}}\in ({{x}_{i-1}},{{x}_{i}}),\,\,i=1,…,n \).

Suy ra:  \( \Delta {{s}_{i}}\approx \sqrt{1+{{{{y}’}}^{2}}({{\xi }_{i}})}\left| \Delta {{x}_{i}} \right|,\,\,{{\xi }_{i}}\in ({{x}_{i-1}},{{x}_{i}}) \)

Sau khi thực hiện phép chia cung  \( \overset\frown{AB} \), ta chọn  \( {{M}_{i}}({{\xi }_{i}},y({{\xi }_{i}}))\in \overset\frown{{{A}_{i-1}}{{A}_{i}}},\,\,\,i=\overline{1,n} \).

Vậy tổng tích phân tương ứng sẽ là:

 \( {{I}_{n}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{f({{\xi }_{i}},y({{\xi }_{i}}))\Delta {{s}_{i}}}\approx \sum\limits_{i=1}^{n}{f({{\xi }_{i}},y({{\xi }_{i}}))\sqrt{1+{{{{y}’}}^{2}}({{\xi }_{i}})}}\left| \Delta {{x}_{i}} \right| \).

Cho  \( n\to \infty  \) sao cho  \( \max \Delta {{x}_{i}} \) hay  \( \max \Delta {{s}_{i}}\to 0 \) thì do sự tồn tại của tích phân đường một nên vế trái dần đến  \( \int\limits_{\overset\frown{AB}}{f(x,y)ds} \), còn vế phải chính là tích phân xác định của hàm số  \( f(x,y(x))\sqrt{1+{{{{y}’}}^{2}}(x)} \) trên  \( [a,b] \) nghĩa là ta nhận được công thức (3.6).

Nếu cung  \( \overset\frown{AB} \) cho bởi phương trình tham số:  \( \left\{ \begin{align}  & x=x(t) \\  & y=y(t) \\ \end{align} \right.,\,\,{{t}_{1}}\le t\le {{t}_{2}} \) thì  \( {y}'(x)=\frac{{y}'(t)}{{x}'(t)},\,\,dx={x}'(t)dt,\,\,\sqrt{1+{{{{y}’}}^{2}}(x)}=\frac{1}{\left| {x}'(t) \right|}\sqrt{{{{{x}’}}^{2}}(t)+{{{{y}’}}^{2}}(t)} \)

Vì  \( a\le b \) và  \( {{t}_{1}}\le {{t}_{2}} \) nên công thức (3.6) trở thành:

 \( \int\limits_{\overset\frown{AB}}{f(x,y)ds}=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{f[x(t),y(t)]\sqrt{{{{{x}’}}^{2}}(t)+{{{{y}’}}^{2}}(t)}dt}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3.7) \)

Đặc biệt khi  \( \overset\frown{AB} \) cho trong tọa độ cực  \( r=r(\varphi ),\,\,{{\varphi }_{1}}\le \varphi \le {{\varphi }_{2}} \).

Ta có thể coi rằng  \( \overset\frown{AB} \) cho dưới dạng tham số:  \( \left\{ \begin{align}  & x=r(\varphi )\cos \varphi  \\  & y=r(\varphi )\sin \varphi  \\ \end{align} \right.,\,\,{{\varphi }_{1}}\le \varphi \le {{\varphi }_{2}} \).

Khi đó,  \( {{{x}’}^{2}}(\varphi )+{{{y}’}^{2}}(\varphi )={{r}^{2}}(\varphi )+{{{r}’}^{2}}(\varphi ) \). Suy ra (3.6) có dạng:

 \( \int\limits_{\overset\frown{AB}}{f(x,y)ds}=\int\limits_{{{\varphi }_{1}}}^{{{\varphi }_{2}}}{f[r(\varphi )\cos \varphi ,r(\varphi )\sin \varphi ]\sqrt{{{r}^{2}}(\varphi )+{{{{r}’}}^{2}}(\varphi )}d\varphi }\,\,\,\,\,\,(3.8) \)

Tổng quát cung  \( \overset\frown{AB}\subset {{\mathbb{R}}^{3}} \) cho bởi phương trình tham số m  \( \left\{ \begin{align}  & x=x(t) \\  & y=y(t) \\  & z=z(t) \\ \end{align} \right.,\,\,{{t}_{1}}\le t\le {{t}_{2}} \) và nếu  \( f(x,y,z) \) khả tích trên cung đó thì:

 \( \int\limits_{\overset\frown{AB}}{f(x,y,z)ds}=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{{{{{x}’}}^{2}}(t)+{{{{y}’}}^{2}}(t)+{{{{z}’}}^{2}}(t)}dt} \)        (3.9)