3.1. Tích phân đường loại một

Giới thiệu

Tích phân đường và tích phân mặt là sự mở rộng của tích phân nhiều lớp trên hai phương diện: lấy tích phân trên các cung cong thay cho trên đoạn thẳng, tích phân trên mặt cong thay cho miền phẳng, đặc biệt để ý đến việc định hướng của đường cong và mặt cong. Chính vì thế ý nghĩa thực tiễn của tích phân đường, tích phân mặt là rất lớn. Hầu hết các bài toán kỹ thuật liên quan đến trường vectơ đều liên quan đến tích phân đường, tích phân mặt: tính công của lực, tính thông lượng của trường. Tính tích phân đường dẫn đến tính tích phân xác định, tính tích phân mặt dẫn đến tính tích phân bội hai, vậy một lần nữa yêu câu người học phải có kỉ năng tính tích phân xác định.

Trong chương này yêu cầu nắm vững các nội dung chính sau đây:

(1) Tích phân đường loại 1

Trước hết nhớ lại công thức vi phân cung và để ý rằng cận trên luôn luôn lớn hơn cận dưới.

(2) Tích phân đường loại 2

Khi tính phải lưu ý đến hướng của đường cong tùy theo hướng đã định mà tìm cận trên, cận dưới của tích phân xác định. Trường hợp đường cong kín nên vận dụng công thức Green nếu các điều kiện của định lí được thỏa mãn, tổng quát hơn phải sử dụng công thức Stokes.

(3) Tích phân mặt loại 1

Chú ý đến công thức tính yếu tố diện tích của mặt cong cho bởi phương trình dạng tường minh (chẳng hạn  \( z=z(x,y) \)) để từ đó đưa về tính tích phân bội hai trên hình chiếu của mặt cong lên mặt phẳng tọa độ tương ứng (mặt phẳng tọa độ Oxy).

(4) Tích phân mặt loại 2

Để tính tích phân mặt loại hai, trước hết phải xác định các phía của mặt cong đã định hướng thông qua các cosin chỉ phương của vectơ pháp tuyến. Tiếp theo, tìm hình chiếu của mặt cong lên các mặt phẳng tọa độ. Khi mặt cong kín thườn sử dụng công thức Ostrogradski- Gauss.

Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 2 - Calculus II Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

3.1.1. Định nghĩa

Cho hàm số  \( f(x,y) \) xác định trên một cung phẳng  \( \overset\frown{AB} \) (H.3.1)

+ Chia cung  \( \overset\frown{AB} \) là n cung nhỏ bởi các điểm chia  \( {{A}_{0}}\equiv A,{{A}_{1}},…,{{A}_{i-1}},{{A}_{i}},…,{{A}_{n}}\equiv B \) gọi độ dài cung  \( \overset\frown{{{A}_{i-1}}{{A}_{i}}} \) là  \( \Delta {{s}_{i}}\,\,(i=\overline{1,n}) \).

+ Lấy tùy ý  \( {{M}_{i}}({{x}_{i}},{{y}_{i}})\in \overset\frown{{{A}_{i-1}}{{A}_{i}}}\,\,(i=\overline{1,n}) \)

+ Lập tổng  \( {{I}_{n}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{f({{x}_{i}},{{y}_{i}})\Delta {{s}_{i}}} \) gọi là tổng tích phân đường loại một của hàm  \( f(x,y) \) lấy trên cung  \( \overset\frown{AB} \) ứng với một phân hoạch và một cách chọn tùy ý các điểm  \( {{M}_{i}}\in \overset\frown{{{A}_{i-1}}{{A}_{i}}}\,\,\,(i=\overline{1,n}) \).

Nếu khi  \( n\to \infty \)  sao cho  \( \max \Delta {{s}_{i}}\to 0,\,\,{{I}_{n}} \) hội tụ về số I không phụ thuộc cách chia cung  \( \overset\frown{AB} \) và cách chọn  \( {{M}_{i}}\in \overset\frown{{{A}_{i-1}}{{A}_{i}}}\,\,\,(i=\overline{1,n}) \) thì số I gọi là tích phân đường loại một của  \( f(x,y) \) dọc theo cung  \( \overset\frown{AB} \) và kí hiệu  \( \int\limits_{\overset\frown{AB}}{f(x,y)ds} \).

Vậy  \( I=\underset{\max \Delta {{s}_{i}}\to 0}{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{i=1}^{n}{f({{x}_{i}},{{y}_{i}})\Delta {{s}_{i}}}=\int\limits_{\overset\frown{AB}}{f(x,y)ds}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3.1) \)

Nếu có tích phân (3.1) thì nói rằng  \( f(x,y) \) khả tích trên  \( \overset\frown{AB} \). Trong tích phân (3.1), ds kí hiệu độ dài yếu tố của cung  \( \overset\frown{AB} \) hay vi phân của cung  \( \overset\frown{AB} \).

Mở rộng: Nếu  \( f(x,y,z) \) khả tích trên cung  \( \overset\frown{AB}\subset {{\mathbb{R}}^{3}} \) thì tích phân đường loại một của  \( f(x,y,z) \) trên cung  \( \overset\frown{AB} \) kí hiệu là  \( I=\int\limits_{\overset\frown{AB}}{f(x,y,z)ds}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3.2) \)

Chú ý:

a) Từ định nghĩa trên ta thấy chiều đi của cung \( \overset\frown{AB} \) không đóng vai trò gì cả vì \( {{I}_{n}} \) không phụ thuộc vào hướng của cung  \( \overset\frown{AB} \). Vậy  \( \int\limits_{\overset\frown{AB}}{f(x,y)ds}=\int\limits_{\overset\frown{BA}}{f(x,y)ds}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3.3) \)

b) Rõ ràng nếu gọi \( \ell \) là độ dài cung \( \overset\frown{AB} \) thì  \( \ell =\int\limits_{\overset\frown{AB}}{ds}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3.4) \)

c) Nếu một dây vật chất có dạng cung \( \overset\frown{AB} \) và mật độ khối lượng là \( \rho (x,y) \) thì khối lượng của dây vật chất đó tính theo công thức:  \( m=\int\limits_{\overset\frown{AB}}{\rho (x,y)ds}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3.5) \)

d) Người ta đã chứng minh được: nếu cung \( \overset\frown{AB} \) là cung trơn (tiếp tuyến của cung biến thiên liên tục) hoặc trơn từng khúc (chia cung \( \overset\frown{AB} \) thành hữu hạn các cung thành phần, các cung thành phần là các cung trơn) và  \( f(x,y) \) liên tục trên cung  \( \overset\frown{AB} \) thì  \( f(x,y) \) khả tích trên cung  \( \overset\frown{AB} \).

e) Vì định nghĩa trên tương tự với tích phân xác định, tích phân bội nên tích phân đường loại một có các tính chất giống như tích phân xác định.

3.1.2. Công thức tính tích phân đường loại một

Định lí 3.1. Giả sử cung  \( \overset\frown{AB} \) trơn cho bởi phương trình:  \( y=y(x),\,\,a\le x\le b \) và hàm số  \( f(x,y) \) liên tục trên cung  \( \overset\frown{AB} \). Khi đó:  \( \int\limits_{\overset\frown{AB}}{f(x,y)ds}=\int\limits_{a}^{b}{f(x,y(x))\sqrt{1+{{{{y}’}}^{2}}(x)}dx}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3.6) \).

Chứng minh: Thực hiện phép chia cung  \( \overset\frown{AB} \) bởi các điểm \({{A}_{i}}({{x}_{i}},{{y}_{i}})\,\,\,(i=\overline{1,n})\) như định nghĩa đã trình bày.

Gọi  \( \Delta {{x}_{i}}={{x}_{i}}-{{x}_{i-1}},\,\,\Delta {{y}_{i}}={{y}_{i}}-{{y}_{i-1}}\,\,\,(i=\overline{1,n}) \) (xem H.3.1). Với  \( \Delta {{x}_{i}},\Delta {{y}_{i}} \) khá bé thì:

 \( \Delta {{s}_{i}}\approx \sqrt{\Delta x_{i}^{2}+\Delta y_{i}^{2}}=\sqrt{1+{{\left( \frac{\Delta {{y}_{i}}}{\Delta {{x}_{i}}} \right)}^{2}}}\cdot \left| \Delta {{x}_{i}} \right| \)

Theo công thức Lagrange, ta có:  \( \frac{\Delta {{y}_{i}}}{\Delta {{x}_{i}}}={y}'({{\xi }_{i}}),\,\,{{\xi }_{i}}\in ({{x}_{i-1}},{{x}_{i}}),\,\,i=1,…,n \).

Suy ra:  \( \Delta {{s}_{i}}\approx \sqrt{1+{{{{y}’}}^{2}}({{\xi }_{i}})}\left| \Delta {{x}_{i}} \right|,\,\,{{\xi }_{i}}\in ({{x}_{i-1}},{{x}_{i}}) \)

Sau khi thực hiện phép chia cung  \( \overset\frown{AB} \), ta chọn  \( {{M}_{i}}({{\xi }_{i}},y({{\xi }_{i}}))\in \overset\frown{{{A}_{i-1}}{{A}_{i}}},\,\,\,i=\overline{1,n} \).

Vậy tổng tích phân tương ứng sẽ là:

 \( {{I}_{n}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{f({{\xi }_{i}},y({{\xi }_{i}}))\Delta {{s}_{i}}}\approx \sum\limits_{i=1}^{n}{f({{\xi }_{i}},y({{\xi }_{i}}))\sqrt{1+{{{{y}’}}^{2}}({{\xi }_{i}})}}\left| \Delta {{x}_{i}} \right| \).

Cho  \( n\to \infty  \) sao cho  \( \max \Delta {{x}_{i}} \) hay  \( \max \Delta {{s}_{i}}\to 0 \) thì do sự tồn tại của tích phân đường một nên vế trái dần đến  \( \int\limits_{\overset\frown{AB}}{f(x,y)ds} \), còn vế phải chính là tích phân xác định của hàm số  \( f(x,y(x))\sqrt{1+{{{{y}’}}^{2}}(x)} \) trên  \( [a,b] \) nghĩa là ta nhận được công thức (3.6).

Nếu cung  \( \overset\frown{AB} \) cho bởi phương trình tham số:  \( \left\{ \begin{align}  & x=x(t) \\  & y=y(t) \\ \end{align} \right.,\,\,{{t}_{1}}\le t\le {{t}_{2}} \) thì  \( {y}'(x)=\frac{{y}'(t)}{{x}'(t)},\,\,dx={x}'(t)dt,\,\,\sqrt{1+{{{{y}’}}^{2}}(x)}=\frac{1}{\left| {x}'(t) \right|}\sqrt{{{{{x}’}}^{2}}(t)+{{{{y}’}}^{2}}(t)} \)

Vì  \( a\le b \) và  \( {{t}_{1}}\le {{t}_{2}} \) nên công thức (3.6) trở thành:

 \( \int\limits_{\overset\frown{AB}}{f(x,y)ds}=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{f[x(t),y(t)]\sqrt{{{{{x}’}}^{2}}(t)+{{{{y}’}}^{2}}(t)}dt}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3.7) \)

Đặc biệt khi  \( \overset\frown{AB} \) cho trong tọa độ cực  \( r=r(\varphi ),\,\,{{\varphi }_{1}}\le \varphi \le {{\varphi }_{2}} \).

Ta có thể coi rằng  \( \overset\frown{AB} \) cho dưới dạng tham số:  \( \left\{ \begin{align}  & x=r(\varphi )\cos \varphi  \\  & y=r(\varphi )\sin \varphi  \\ \end{align} \right.,\,\,{{\varphi }_{1}}\le \varphi \le {{\varphi }_{2}} \).

Khi đó,  \( {{{x}’}^{2}}(\varphi )+{{{y}’}^{2}}(\varphi )={{r}^{2}}(\varphi )+{{{r}’}^{2}}(\varphi ) \). Suy ra (3.6) có dạng:

 \( \int\limits_{\overset\frown{AB}}{f(x,y)ds}=\int\limits_{{{\varphi }_{1}}}^{{{\varphi }_{2}}}{f[r(\varphi )\cos \varphi ,r(\varphi )\sin \varphi ]\sqrt{{{r}^{2}}(\varphi )+{{{{r}’}}^{2}}(\varphi )}d\varphi }\,\,\,\,\,\,(3.8) \)

Tổng quát cung  \( \overset\frown{AB}\subset {{\mathbb{R}}^{3}} \) cho bởi phương trình tham số m  \( \left\{ \begin{align}  & x=x(t) \\  & y=y(t) \\  & z=z(t) \\ \end{align} \right.,\,\,{{t}_{1}}\le t\le {{t}_{2}} \) và nếu  \( f(x,y,z) \) khả tích trên cung đó thì:

 \( \int\limits_{\overset\frown{AB}}{f(x,y,z)ds}=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{{{{{x}’}}^{2}}(t)+{{{{y}’}}^{2}}(t)+{{{{z}’}}^{2}}(t)}dt} \)        (3.9)

Sách Giải Bài Tập Giải Tích 2

Ví dụ 1. Tính \( \int\limits_{C}{(x+y)ds} \), C là biên tam giác với các đỉnh O(0;0), A(1;0), B(0;1).

Hướng dẫn giải:

Đường C cho bởi H (3.2)

Theo tính chất của tích phân ta có:  \( \int\limits_{C}{{}}=\int\limits_{\overset\frown{OA}}{{}}+\int\limits_{\overset\frown{AB}}{{}}+\int\limits_{\overset\frown{BO}}{{}} \)

Đoạn OA có phương trình  \( y=0,\,\,0\le x\le 1 \)

 \( \int\limits_{AB}{(x+y)ds}=\int\limits_{0}^{1}{1\sqrt{1+1}dx}=\sqrt{2} \)

Đoạn BO có phương trình:  \( x=0,\,\,0\le y\le 1 \).

 \( \int\limits_{BO}{(x+y)ds}=\int\limits_{0}^{1}{y\sqrt{1+0}dy}=\left. \frac{1}{2}{{y}^{2}} \right|_{0}^{1}=\frac{1}{2} \)

(Sử dụng công thức (3.6) trong đó thay đổi vai trò các biến x và y cho nhau)

Vậy:  \( \int\limits_{C}{(x+y)ds}=1+\sqrt{2} \).

Ví dụ 2. Tính \( I=\int\limits_{L}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}ds} \), L là đường tròn  \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2x \).

Hướng dẫn giải:

Đường tròn L cho bởi H.3.3.

Trong tọa độ cực phương trình đường L có dạng  \( r=2\cos \varphi ,\,\,-\frac{\pi }{2}\le \varphi \le \frac{\pi }{2} \). Theo công thức (3.8) thì:

 \( I=\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{2\cos \varphi \sqrt{4{{\cos }^{2}}\varphi +4{{\sin }^{2}}\varphi }d\varphi }=8\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\cos \varphi d\varphi }=\left. 8\sin \varphi  \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}=8 \).

Bạn đọc có thể giải ví dụ 2 bằng cách viết phương trình đường tròn  \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2x \) dưới dạng tham số:  \( \left\{ \begin{align}  & x=1+\cos t \\  & y=\sin t \\ \end{align} \right.,\,\,-\pi \le t\le \pi \) .

Trong quá trình đăng tải bài viết lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, nên bạn đọc muốn xem đầy đủ các dạng bài tập giải chi tiết hãy vui lòng mua sách Giải bài tập Giải Tích 2!


Menu