Bài Giảng Toán Cao Cấp

Cho hai hàm số  \( P(x,y),\,\,Q(x,y) \) xác định trên cung L (hay cung  \( \overset\frown{AB} \)).

+ Chia cung L thành n cung nhỏ bởi các điểm chia:  \( A\equiv {{A}_{0}},{{A}_{1}},…,{{A}_{i-1}},{{A}_{i}},…,{{A}_{n}}\equiv B \).

Gọi tọa độ của vectơ  \( \overrightarrow{{{A}_{i-1}}{{A}_{i}}} \) là  \( \Delta {{x}_{i}},\Delta {{y}_{i}} \) và độ dài cung  \( \overset\frown{{{A}_{i-1}}{{A}_{i}}} \) là  \( \Delta {{s}_{i}},\,\,i=\overline{1,n} \).

+ Lấy tùy ý  \( {{M}_{i}}({{x}_{i}},{{y}_{i}})\in \overset\frown{{{A}_{i-1}}{{A}_{i}}},\,\,i=\overline{1,n} \).

+ Lập tổng  \( {{I}_{n}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{P({{M}_{i}})\Delta {{x}_{i}}+Q({{M}_{i}})\Delta {{y}_{i}}} \), gọi đó là tổng tích phân đường loại hai của hàm số  \( P(x,y),\,\,Q(x,y) \) dọc theo L đi từ A đến B ứng với một phân hoạch của L và một cách chọn  \( {{M}_{i}}\in \overset\frown{{{A}_{i-1}}{{A}_{i}}} \).

+ Khi  \( n\to \infty  \) sao cho  \( \max \Delta {{s}_{i}}\to 0 \) hay  \( \max \Delta {{x}_{i}}\to 0 \) và  \( \max \Delta {{y}_{i}}\to 0 \) mà I_n hội tụ về số I không phụ thuộc cách chia cung L và cách chọn tùy ý  \( {{M}_{i}}\in \overset\frown{{{A}_{i-1}}{{A}_{i}}} \) thì số I gọi là tích phân đường loại hai của các hàm  \( P(x,y),\,\,Q(x,y) \) dọc theo cung  \( \overset\frown{AB} \) đi từ A đến B và kí hiệu là  \( \int\limits_{\overset\frown{AB}}{P(x,y)dx+Q(x,y)dy} \).

+ Như vậy:  \( \int\limits_{\overset\frown{AB}}{P(x,y)dx+Q(x,y)dy}=\underset{\begin{smallmatrix} \Delta {{x}_{i}}\to 0 \\  \Delta {{y}_{i}}\to 0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{i=1}^{n}{P({{x}_{i}},{{y}_{i}})\Delta {{x}_{i}}+Q({{x}_{i}},{{y}_{i}})\Delta {{y}_{i}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3.10) \)

+ Chú ý:

(1) Khác với tích phân đường loại một, ở tích phân đường loại hai, hướng lấy tích phân của L là quan trọng. Nếu ta dọc theo cung  \( \overset\frown{AB} \) đi từ B đến A thì các vectơ  \( \overrightarrow{{{A}_{i-1}}{{A}_{i}}} \) đổi hướng, tức là các thành phần của vectơ đó là  \( -\Delta {{x}_{i}},-\Delta {{y}_{i}},\,\,i=\overline{1,n} \). Vậy tổng tích phân sẽ đổi dấu, suy ra:

 \( \int\limits_{\overset\frown{AB}}{P(x,y)dx+Q(x,y)dy}=-\int\limits_{\overset\frown{BA}}{P(x,y)dx+Q(x,y)dy}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3.11) \)

(2) Công sinh ra do lực  \( \vec{F}=P(x,y)\vec{i}+Q(x,y)\vec{j} \) để chất điểm dịch chuyển từ A đến B theo cung  \( \overset\frown{AB} \) sẽ là:

 \( W=\int\limits_{\overset\frown{AB}}{P(x,y)dx+Q(x,y)dy}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3.12) \)

(3) Nếu  \( \overset\frown{AB} \) là đường cong trong không gian có ba hàm số  \( P(x,y,z),\,\,Q(x,y,z),\,\,R(x,y,z) \) xác định trên cung  \( \overset\frown{AB} \) thì tích phân đường loại hai của ba hàm số đó cũng được kí hiệu là:

 \( \int\limits_{\overset\frown{AB}}{P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3.13) \)

(4) Cho L là đường cong phẳng (nằm trên mặt phẳng Oxy) và kín. Người ta quy ước gọi hướng dương của đường cong L là hướng sao cho một người đi dọc L theo hướng đó thì thấy miền giới hạn bởi L gần mình nhất ở bên trái. Tích phân lấy theo hướng dương thường kí hiệu là:  \( \oint\limits_{{{L}^{+}}}{P(x,y)dx+Q(x,y)dy} \).

Còn tích phân lấy theo hướng ngược lại sẽ dùng dấu  \( \oint\limits_{{{L}^{-}}}{P(x,y)dx+Q(x,y)dy} \).

(5) Tương tự tích phân đường loại một, người ta cũng chứng minh sẽ sự tồn tại tích phân đường loại hai: Nếu cung  \( \overset\frown{AB} \) trơn hoặc trơn từng khúc và các hàm  \( P(x,y),\,\,Q(x,y) \) liên tục trên cung đó thì tồn tại tích phân đường loại hai của hai hàm  \( P(x,y),\,\,Q(x,y) \) lấy theo cung  \( \overset\frown{AB} \).

(6) Tích phân đường loại hai cũng có các tính chất tương tự như tích phân xác định.