Bài Giảng Toán Cao Cấp
3.2. Phương trình tuyến tính cấp hai
1. Định nghĩa
+ Phương trình tuyến tính cấp hai thuần nhất là phương trình vi phân cấp hai có dạng:
\( {y}”+p(x){y}’+q(x)y=0\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \)
Trong đó \( p(x),\,\,q(x) \) là các hàm số liên tục.
+ Phương trình tuyến tính cấp hai không thuần nhất là phương trình vi phân cấp hai có dạng:
\( {y}”+p(x){y}’+q(x)y=f(x)\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \)
Trong đó \( p(x),\,\,q(x),\,\,f(x) \) là các hàm số liên tục.
Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 2 - Calculus II Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán Cao Cấp gồm:
- Giải Tích 1, Giải Tích 2, Giải tích 3
- Đại Số Tuyến Tính, Xác Suất Thống Kê
- Sách Giải Bài Tập của bộ môn Toán Cao Cấp!
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
2. Cấu trúc nghiệm của phương trình tuyến tính cấp hai
+ Phương trình thuần nhất
– Cấu trúc nghiệm
Gọi W là tập hợp tất cả các nghiệm \( y=y(x) \) của (1). Ta có đường cong tích phân \( y=y(x) \) nằm trong mặt phẳng Oxy và W là một không gian vectơ 2 chiều. Giả sử \( {{y}_{1}}(x) \) và \( {{y}_{2}}(x) \) là hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính của (1) thì \( y={{C}_{1}}{{y}_{1}}(x)+{{C}_{2}}{{y}_{2}}(x)\,\,\,({{C}_{1}},{{C}_{2}}\in \mathbb{R}) \) là nghiệm tổng quát của (1).
Thật vậy, ta có:
\( {y}”+p(x){y}’+q(x)\cdot y=({{C}_{1}}{{{y}”}_{1}}+{{C}_{2}}{{{y}”}_{2}})+p(x)({{C}_{1}}{{{y}’}_{1}}+{{C}_{2}}{{{y}’}_{2}})+q(x)({{C}_{1}}{{y}_{1}}+{{C}_{2}}{{y}_{2}}) \)
\( ={{C}_{1}}\left[ {{{{y}”}}_{1}}+p(x){{{{y}’}}_{1}}+q(x){{y}_{1}} \right]+{{C}_{2}}\left[ {{{{y}”}}_{2}}+p(x){{{{y}’}}_{2}}+q(x){{y}_{2}} \right]=0 \).
Vậy tập hợp tất cả các nghiệm tổng quát của (1) là \( W=\left\{ y=y(x)\left| y={{C}_{1}}{{y}_{1}}(x)+{{C}_{2}}{{y}_{2}}(x)\,\,\,({{C}_{1}},{{C}_{2}}\in \mathbb{R}) \right. \right\} \).
+ Phương pháp giải:
Giả sử \( {{y}_{1}}(x) \) là một nghiệm riêng của (1), ta tìm nghiệm riêng thứ hai độc lập tuyến tính với \( {{y}_{1}}(x) \) dưới dạng \( {{y}_{2}}(x)={{y}_{1}}(x)\cdot u(x) \).
Ta có: \( {{{y}’}_{2}}={{{y}’}_{1}}\cdot u+{{y}_{1}}\cdot {u}’\Rightarrow {{{y}”}_{2}}={{{y}”}_{1}}\cdot u+2{{{y}’}_{1}}\cdot {u}’+{{y}_{1}}\cdot {u}” \).
Thay \( {{y}_{1}},{{{y}’}_{2}},{{{y}”}_{2}} \) vào (1), ta được:
\( {{y}_{1}}\cdot {u}”+\left[ 2{{{{y}’}}_{1}}+p(x){{y}_{1}} \right]{u}’+\left[ {{{{y}”}}_{1}}+p(x){{{{y}’}}_{1}}+q(x){{{{y}’}}_{1}}+q(x){{y}_{1}} \right]u=0 \)
\( \Rightarrow {{y}_{1}}\cdot {u}”+\left[ 2{{{{y}’}}_{1}}+p(x){{y}_{1}} \right]{u}’=0 \).
Đặt \( z={u}’ \), ta có: \( {{y}_{1}}\cdot {z}’=-\left[ 2{{{{y}’}}_{1}}+p(x){{y}_{1}} \right]z\Rightarrow \frac{dz}{z}=-\frac{2{{{{y}’}}_{1}}}{{{y}_{1}}}dx-p(x)dx \)
\( \Rightarrow z=\frac{{{e}^{-\int{p(x)dx}}}}{{{({{y}_{1}})}^{2}}}\Rightarrow u(x)=\int{\frac{{{e}^{-\int{p(x)dx}}}}{y_{1}^{2}(x)}dx} \).
Vậy, nghiệm riêng thứ hai của (1) là \( {{y}_{2}}(x)={{y}_{1}}(x)\int{\frac{{{e}^{-\int{p(x)dx}}}}{y_{1}^{2}(x)}dx} \).
Để giải phương trình (1), ta thực hiện các bước sau
– Bước 1. Nhẩm một nghiệm \( {{y}_{1}}(x) \) của (1).
– Bước 2. Tìm nghiệm thứ hai \( {{y}_{2}}(x) \) theo công thức ở trên rồi suy ra nghiệm tổng quát của (7) là \( y={{C}_{1}}{{y}_{1}}(x)+{{C}_{2}}{{y}_{2}}(x) \).
Ví dụ 1. Giải phương trình vi phân \( {y}”-4{y}’+4y=0 \).
Hướng dẫn giải:
Nhận thấy \( {{y}_{1}}={{e}^{2x}} \) là một nghiệm riêng của phương trình.
Ta có nghiệm riêng thứ hai là: \( {{y}_{2}}={{e}^{2x}}\int{\frac{{{e}^{\int{4dx}}}}{{{e}^{4x}}}dx}={{e}^{2x}}\int{dx}=x{{e}^{2x}} \).
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là \( y={{C}_{1}}{{e}^{2x}}+{{C}_{2}}x{{e}^{2x}} \).
Ví dụ 2. Giải phương trình vi phân \( {{x}^{2}}{y}”-x{y}’-3y=0 \), biết một nghiệm riêng là \( {{y}_{1}}(x)=\frac{1}{x} \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là \( y=\frac{{{C}_{1}}}{x}+{{C}_{2}}{{x}^{3}} \).
3. Phương trình không thuần nhất
+ Cấu trúc nghiệm
– Nghiệm riêng, kí hiệu là \( {{y}_{r}} \), của phương trình không thuần nhất (2) có dạng \( {{y}_{1}}={{u}_{1}}(x)\cdot {{y}_{1}}(x)+{{u}_{2}}(x)\cdot {{y}_{2}}(x) \)
Trong đó \( {{y}_{1}}(x),\,\,{{y}_{2}}(x) \) là các nghiệm riêng của (1) tương ứng.
– Nghiệm tổng quát, kí hiệu \( {{y}_{tq}} \), của phương trình không thuần nhất (2) là \( {{y}_{tq}}=y(x)+{{y}_{r}}(x) \)
Trong đó y(x) là nghiệm tổng quát của (1) tương ứng.
+ Phương pháp giải:
Để giải phương trình (2), ta thực hiện các bước sau:
– Bước 1. Tìm nghiệm riêng \( {{y}_{1}},{{y}_{2}} \) và nghiệm tổng quát y(x) của (1).
– Bước 2. Tìm nghiệm riêng \( {{y}_{r}}={{u}_{1}}(x)\cdot {{y}_{1}}(x)+{{u}_{2}}(x)\cdot {{y}_{2}}(x) \) của (2).
Để tìm các hàm \( {{u}_{1}}(x) \) và \( {{u}_{2}}(x) \), ta giải hệ Wronskian: \( \left\{ \begin{align} & {{{{u}’}}_{1}}(x){{y}_{1}}(x)+{{{{u}’}}_{2}}(x){{y}_{2}}(x)=0 \\ & {{{{u}’}}_{1}}(x){{{{y}’}}_{1}}(x)+{{{{u}’}}_{2}}(x){{{{y}’}}_{2}}(x)=f(x) \\ \end{align} \right. \).
– Bước 3. Nghiệm tổng quát của (2) là \( {{y}_{tq}}=y(x)+{{y}_{r}}(x) \).
Sách Giải Bài Tập Giải Tích 2
Ví dụ 2. Giải phương trình vi phân \( {y}”-\frac{1}{x}{y}’-\frac{3}{{{x}^{2}}}y=\frac{4}{x} \).
Hướng dẫn giải:
Trong ví dụ ở câu trước, ta đã biết phương trình \( {y}”-\frac{1}{x}{y}’-\frac{3}{{{x}^{2}}}y=0 \) có hai nghiệm riêng là \( {{y}_{1}}(x)=\frac{1}{x},\,\,{{y}_{2}}(x)=\frac{{{x}^{3}}}{4} \) và nghiệm tổng quát là \( y=\frac{{{C}_{1}}}{x}+{{C}_{2}}{{x}^{3}} \).
Ta có hệ Wronskian là: \( \left\{ \begin{align} & {{{{u}’}}_{1}}(x)\cdot \frac{1}{x}+{{{{u}’}}_{2}}(x)\cdot \frac{{{x}^{3}}}{4}=0 \\ & -{{{{u}’}}_{1}}(x)\cdot \frac{1}{{{x}^{2}}}+{{{{u}’}}_{2}}(x)\cdot \frac{3{{x}^{2}}}{4}=\frac{4}{x} \\ \end{align} \right. \)
\( \left\{ \begin{align} & {{{{u}’}}_{1}}(x)=-x \\ & {{{{u}’}}_{2}}(x)=\frac{4}{{{x}^{3}}} \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}(x)=-\frac{{{x}^{2}}}{2} \\ & {{u}_{2}}(x)=-\frac{2}{{{x}^{2}}} \\ \end{align} \right. \).
Suy ra nghiệm riêng \( {{y}_{r}}={{u}_{1}}(x){{y}_{1}}(x)+{{u}_{2}}(x){{y}_{2}}(x)=-x \).
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là \( {{y}_{tq}}=\frac{{{C}_{1}}}{x}+{{C}_{2}}{{x}^{3}}-x \).
Trong quá trình đăng tải bài viết lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, nên bạn đọc muốn xem đầy đủ các dạng bài tập giải chi tiết hãy vui lòng mua sách Giải bài tập Giải Tích 2!
