Bài Giảng Toán Cao Cấp

+ Định nghĩa: Nếu hai hàm số P(x,y), Q(x,y) có các đạo hàm riêng liên tục trong miền mở  \( D\subset {{\mathbb{R}}^{2}} \), thỏa điều kiện  \( {{{Q}’}_{x}}(x,y)={{{P}’}_{y}}(x,y),\,\,\forall (x,y)\in D \) thì phương trình vi phân có dạng

 \( P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3) \) được gọi là phương trình vi phân toàn phần.

+ Nhận xét: Giả sử tồn tại hàm U(x,y) sao cho  \( d[U(x,y)]=P(x,y)dx+Q(x,y)dy \).

Khi đó, ta có  \( {{{U}’}_{x}}(x,y)=P(x,y),\,\,{{{U}’}_{y}}(x,y)=Q(x,y) \).

Mặt khác, từ đẳng thức  \( U(x,y)=C \), ta có:  \( d[U(x,y)]=dC\Rightarrow P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 \).

Suy ra, nghiệm tổng quát của (3) là  \( U(x,y)=C \).

+ Phương pháp giải: Từ nhận xét ở trên, ta có các bước giải (3) như sau:

– Bước 1. Tính các đạo hàm riêng, ta có:

 \( {{{U}’}_{x}}(x,y)=P(x,y)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3a) \)

 \( {{{U}’}_{y}}(x,y)=Q(x,y)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3b) \)

– Bước 2. Lấy tích phân (3a) theo biến x, ta được:  \( U(x,y)=\int{P(x,y)dx}=\varphi (x,y)+C(y)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3c) \)

(trong đó C(y) là hàm theo biến y).

– Bước 3. Đạo hàm hai vế của (3c) theo biến y, ta được:  \( {{{U}’}_{y}}(x,y)={{{\varphi }’}_{y}}(x,y)+{C}'(y)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3d) \)

– Bước 4. So sánh (3b) và (3d) ta có:  \( C(y)=\int{\left[ Q(x,y)-{{{{\varphi }’}}_{y}}(x,y) \right]dy} \).

Thay C(y) vào (3c) ta được hàm số  \( U(x,y) \).

Kết luận, phương trình (3) có nghiệm tổng quát là  \( U(x,y)=C \)

+ Định lí: Nếu hàm số P(x,y) và Q(x,y) có các đạo hàm riêng liên tục trong miền mở  \( D\subset {{\mathbb{R}}^{2}} chứa điểm {{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \) thỏa điều kiện  \( {{{Q}’}_{x}}(x,y)={{{P}’}_{y}}(x,y),\,\,\forall (x,y)\in D \) thì

 \( U(x,y)=\int\limits_{{{x}_{0}}}^{x}{P(x,{{y}_{0}})dx}+\int\limits_{{{y}_{0}}}^{y}{Q(x,y)dy} \) và  \( U(x,y)=\int\limits_{{{x}_{0}}}^{x}{P(x,y)dx}+\int\limits_{{{y}_{0}}}^{y}{Q({{x}_{0}},y)dy} \) thỏa mãn đăng thức vi phân toàn phần  \( d[U(x,y)]=P(x,y)dx+Q(x,y)dy \).

Chứng minh:

Trong  \( D\subset {{\mathbb{R}}^{2}} \), ta chọn các điểm M(x,y) và  \( {{M}_{1}}(x+\Delta x,y) \) sao cho đoạn thẳng  \( M{{M}_{1}}\subset D \) và chọn  \( \overset\frown{{{M}_{0}}M} \) sao cho  \( \overset\frown{{{M}_{0}}M}\subset D \) (Hình 4.2.1).

Xét hàm  \( U(x,y)=\int\limits_{\overset\frown{{{M}_{0}}M}}{P(x,y)dx+Q(x,y)dy} \) do P(x,y) và Q(x,y) thỏa định lí tích phân không phụ thuộc vào đường cong lấy tích phân nên U(x,y) xác định.

Ta có:  \( {{{U}’}_{x}}(x,y)=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{U(x+\Delta x,y)-U(x,y)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\Delta x}\left( \int\limits_{\overset\frown{{{M}_{0}}{{M}_{1}}}}{Pdx+Qdy}-\int\limits_{\overset\frown{{{M}_{0}}M}}{Pdx+Qdy} \right) \)

 \( =\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\Delta x}\int\limits_{M{{M}_{1}}}{Pdx+Qdy}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\Delta x}\int\limits_{x}^{x+\Delta x}{P(x,y)dx} \).

Theo định lí giá trị trung bình, ta được:  \( \frac{1}{\Delta x}\int\limits_{x}^{x+\Delta x}{P(x,y)dx}=P(\bar{x},y),\,\,\bar{x}\in (x,x+\Delta x) \).

Khi  \( \Delta x\to 0 \) thì  \( P(\bar{x},y)\to P(x,y) \), suy ra  \( {{{U}’}_{x}}(x,y)=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\Delta x}\int\limits_{x}^{x+\Delta x}{P(x,y)dx}=P(x,y) \).

Chứng minh tương tự, ta cũng có  \( {{{U}’}_{y}}(x,y)=Q(x,y) \).

Suy ra  \( d[U(x,y)]=P(x,y)dx+Q(x,y)dy \).

Mặt khác (xem H.4.2.2), ta có:

 \( U(x,y)=\int\limits_{\overset\frown{{{M}_{0}}M}}{Pdx+Qdy}=\int\limits_{{{M}_{0}}A}{Pdx+Qdy}+\int\limits_{AM}{Pdx+Qdy} \)

 \( \Rightarrow U(x,y)=\int\limits_{{{x}_{0}}}^{x}{P(x,{{y}_{0}})dx}+\int\limits_{{{y}_{0}}}^{y}{Q(x,y)dy} \).

Tương tự:  \( U(x,y)=\int\limits_{{{M}_{0}}B}{Pdx+Qdy}+\int\limits_{BM}{Pdx+Qdy} \)

 \( \Rightarrow U(x,y)=\int\limits_{{{x}_{0}}}^{x}{P(x,y)dx}+\int\limits_{{{y}_{0}}}^{y}{Q({{x}_{0}},y)dy} \).