Bài Giảng Toán Cao Cấp

+ Xét vật có khối lượng m được thả rơi tự do gần mặt đất. Chọn chiều rơi của vật là chiều dương. Gọi v(t), a(t) và F(t) lần lượt là vectơ gia tốc rơi của vật và hợp lực tác động lên vật tại thời điểm t. Theo định luật II Newton, chuyển động của vật được viết dưới dạng \(\overrightarrow{F}=m\vec{a}\Rightarrow m\cdot a(t)=mg-k\cdot v(t)\)

Trong đó, g là gia tốc trọng trường và k là hệ số cản.

Thay  \( a(t)={v}'(t) \), ta được phương trình vi phân cấp một:  \( m\cdot {v}'(t)+k\cdot v(t)=mg \).

+ Xét mạch điện mắc nối tiếp tại thời điểm t gồm điện thế tại nguồn E(t), điện trở R, cuộn cảm L và cường độ dòng điện I(t). Theo định luật Ohm, ta có phương trình vi phân cấp một:  \( L\cdot {I}'(t)+R\cdot I(t)=E(t) \).

+ Người ta phóng một vật có khối lượng m theo phương thẳng đứng, biết lực cản của không khí là không đáng kể. Gọi M, R lần lượt là khối lượng và bán kính của Trái đất. Khoảng cách từ tâm Trái đất đến trọng tâm của vật phóng tại thời điểm t là r(t). Theo định luật hấp dẫn Newton, lực hút tác dụng lên vật là:

 \( F=k\cdot \frac{Mm}{{{r}^{2}}} \) (k là hằng số háp dẫn).

Phương trình chuyển động của vật là:  \( m\cdot a=-k\cdot \frac{Mm}{{{r}^{2}}}\Rightarrow {v}'(t)=-k\cdot \frac{M}{{{r}^{2}}(t)} \).

Thay  \( {v}’={r}”(t) \), ta được phương trình vi phân cấp hai:  \( {r}”(t)=-k\cdot \frac{M}{{{r}^{2}}(t)} \).