Bài Giảng Toán Cao Cấp
2.1. Khái niệm phương trình vi phân cấp 1
1. Định nghĩa
+ Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có dạng tổng quát: \( F(x,y,{y}’)=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \).
Nếu từ (2), ta giải được theo \( {y}’ \) thì (2) trở thành: \( {y}’=f(x,y) \).
+ Nghiệm của (2) có chứa hằng \( C\in \mathbb{R} \) được gọi là nghiệm tổng quát. Khi thế điều kiện \( y({{x}_{0}})={{y}_{0}} \) cho trước vào nghiệm tổng quát ta được giá trị \( {{C}_{0}} \) cụ thể và nghiệm của (2) lúc này được gọi là nghiệm riêng.
+ Nghiệm nhận được trực tiếp từ (2) và không thỏa nghiệm tổng quát được gọi là nghiệm kỳ dị.
Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 2 - Calculus II Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán Cao Cấp gồm:
- Giải Tích 1, Giải Tích 2, Giải tích 3
- Đại Số Tuyến Tính, Xác Suất Thống Kê
- Sách Giải Bài Tập của bộ môn Toán Cao Cấp!
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
Ví dụ 1. Xét phương trình vi phân \( {y}’=\sqrt{1-{{y}^{2}}} \). Ta có:
1) hàm số cần tìm \( y=y(x) \) liên tục trên khoảng \( D\subset \mathbb{R} \) sao cho \( \underset{x\in D}{\mathop{\min }}\,y(x)=-1 \) và \( \underset{x\in D}{\mathop{\max }}\,y(x)=1 \) để \( \sqrt{1-{{y}^{2}}} \) có nghĩa;
2) nghiệm tổng quát của phương trình được viết dưới dạng hàm ẩn là \( \arcsin y-x=C \).
3) nếu thay điều kiện đầu \( y(0)=\frac{1}{2} \) vào nghiệm tổng quát thì ta được nghiệm riêng là \( \arcsin y-x=\frac{\pi }{6} \).
Ví dụ 2. Phương trình vi phân \( {y}’=y-{{y}^{2}} \) có nghiệm tổng quát là hàm \( y=\frac{1}{1+C{{e}^{-x}}} \) khác 0. Tuy nhiên, bằng cách thử trực tiếp ta thấy \( y=0 \) cũng là nghiệm của phương trình. Nghiệm \( y=0 \) là nghiệm kỳ dị vì không nhận được từ nghiệm tổng quát.
2. Chú ý
Việc giải phương trình vi phân phụ thuộc rất nhiều vào các điều kiện liên tục của các hàm số có phương trình. Do vậy, trong chương trình, ta thường bỏ qua các điều kiện liên tục của các hàm số và không xét đến nghiệm kỳ dị.
