2.2. Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm

1. Bài toán Cauchy

Bài toán Cauchy là bài toán đi tìm hàm số  \( y=y(x) \) thỏa phương trình  \( {y}’=f(x,y) \) với điều kiện đầu  \( y({{x}_{0}})={{y}_{0}} \). Đồ thị nghiệm của bài toán là đường cong tích phân đi qua điểm  \( {{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \).

Ví dụ. Xét bài toàn Cauchy \( \left\{ \begin{align} & x{y}’=3y \\  & y(1)=1 \\ \end{align} \right. \)

Ta có:  \( x{y}’=3y\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{3y}{x}\Rightarrow \frac{dy}{y}=3\frac{dx}{x} \).

Suy  \( ra \int{\frac{1}{y}dy}=3\int{\frac{1}{x}dx}\Rightarrow \ln \left| y \right|=3\ln \left| x \right|+C \).

Thay  \( x=1 \) và  \( y=1 \) vào  \( \ln \left| y \right|=3\ln \left| x \right|+C \) ta được nghiệm là  \( y={{x}^{3}} \) và đường cong tích phân đi qua điểm M(1;1).

Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 2 - Calculus II Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

2. Định lí

Nếu hàm f(x,y) liên tục trên một miền mở D chứa điểm  \( {{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \) thì với mọi  \( {{M}_{0}}\in D \), phương trình Cauchy có nghiệm trong lân cận của x0. Nếu  \( {{{f}’}_{y}}(x,y) \) cũng liên tục trên D thì nghiệm đó là duy nhất.

Sách Giải Bài Tập Giải Tích 2

Các bài viết cùng chủ đề!

Các Sách Giải Bài Tập - Đề Thi do Trung tâm phát hành!


Menu