Bài Giảng Toán Cao Cấp
2.2. Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm
1. Bài toán Cauchy
Bài toán Cauchy là bài toán đi tìm hàm số \( y=y(x) \) thỏa phương trình \( {y}’=f(x,y) \) với điều kiện đầu \( y({{x}_{0}})={{y}_{0}} \). Đồ thị nghiệm của bài toán là đường cong tích phân đi qua điểm \( {{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \).
Ví dụ. Xét bài toàn Cauchy \( \left\{ \begin{align} & x{y}’=3y \\ & y(1)=1 \\ \end{align} \right. \)
Ta có: \( x{y}’=3y\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{3y}{x}\Rightarrow \frac{dy}{y}=3\frac{dx}{x} \).
Suy \( ra \int{\frac{1}{y}dy}=3\int{\frac{1}{x}dx}\Rightarrow \ln \left| y \right|=3\ln \left| x \right|+C \).
Thay \( x=1 \) và \( y=1 \) vào \( \ln \left| y \right|=3\ln \left| x \right|+C \) ta được nghiệm là \( y={{x}^{3}} \) và đường cong tích phân đi qua điểm M(1;1).
Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 2 - Calculus II Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán Cao Cấp gồm:
- Giải Tích 1, Giải Tích 2, Giải tích 3
- Đại Số Tuyến Tính, Xác Suất Thống Kê
- Sách Giải Bài Tập của bộ môn Toán Cao Cấp!
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
2. Định lí
Nếu hàm f(x,y) liên tục trên một miền mở D chứa điểm \( {{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \) thì với mọi \( {{M}_{0}}\in D \), phương trình Cauchy có nghiệm trong lân cận của x0. Nếu \( {{{f}’}_{y}}(x,y) \) cũng liên tục trên D thì nghiệm đó là duy nhất.
