Bài Giảng Toán Cao Cấp
3.1. Các dạng phương trình vi phân khuyết
1. Phương trình khuyết y và y’
+ Định nghĩa: Phương trình khuyết y và y’ là phương trình vi phân có dạng \( {y}”=f(x)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \)
+ Phương pháp giải:
– Bước 1. Tích phân hai vế của (1), ta được \( {y}’=\int{f(x)dx}=\varphi (x)+{{C}_{1}} \).
– Bước 2. Tích phân hai vế ở bước 1, ta được nghiệm tổng quát là \( y=\int{\left( \varphi (x)+{{C}_{1}} \right)dx}=\psi (x)+{{C}_{1}}x+{{C}_{2}} \)
+ Chú ý: Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp hai chứa hai hằng số C1 và C2 độc lập với nhau.
Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 2 - Calculus II Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán Cao Cấp gồm:
- Giải Tích 1, Giải Tích 2, Giải tích 3
- Đại Số Tuyến Tính, Xác Suất Thống Kê
- Sách Giải Bài Tập của bộ môn Toán Cao Cấp!
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
Ví dụ 1. Giải phương trình vi phân \( {y}”={{x}^{2}} \).
Hướng dẫn giải:
Ta có: \( {y}’=\int{{{x}^{2}}dx}=\frac{{{x}^{3}}}{3}+{{C}_{1}}\Rightarrow y=\int{\left( \frac{{{x}^{3}}}{3}+{{C}_{1}} \right)dx} \).
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là \( y=\frac{{{x}^{4}}}{12}+{{C}_{1}}x+{{C}_{2}} \).
Ví dụ 2. Giải phương trình vi phân \( {y}”={{e}^{2x}} \) thỏa điều kiện đầu \( y(0)=-\frac{7}{4} \) và \( {y}'(0)=\frac{3}{2} \).
Hướng dẫn giải:
Ta có \( {y}’=\int{{{e}^{2x}}dx}=\frac{1}{2}{{e}^{2x}}+{{C}_{1}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(*) \)
Thay \( x=0 \) và \( {y}’=\frac{3}{2} \) vào (*), ta được \( {{C}_{1}}=1\Rightarrow {y}’=\frac{1}{2}{{e}^{2x}}+1 \).
Suy ra \( y=\int{\left( \frac{1}{2}{{e}^{2x}}+1 \right)dx}=\frac{1}{4}{{e}^{2x}}+x+{{C}_{2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(**) \)
Thay \( x=0 \) và \( y=-\frac{7}{4} \) vào (**), ta được \( {{C}_{2}}=-2 \).
Vậy phương trình có nghiệm riêng là \( y=\frac{1}{4}{{e}^{2x}}+x-2 \).
2. Phương trình khuyết y
+ Định nghĩa:
Phương trình khuyết y là phương trình vi phân có dạng \( {y}”=f(x,{y}’)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \)
+ Phương pháp giải:
– Bước 1. Hạ bậc của (2) bằng cách đặt \( z={y}’\Rightarrow {y}”={z}’ \).
– Bước 2. Biến đổi (2) thành phương trình cấp một \( {z}’=f(x,z) \).
Sách Giải Bài Tập Giải Tích 2
Ví dụ 3. Giải phương trình vi phân \( {y}”=x-\frac{{{y}’}}{x} \).
Hướng dẫn giải:
Đặt \( z={y}’ \), phương trình trở thành tuyến tính cấp một: \( {z}’=x-\frac{z}{x}\Rightarrow {z}’+\frac{1}{x}z=x \).
Ta có: \( A(x)={{e}^{-\int{\frac{1}{x}dx}}}=\frac{1}{x} và B(x)=\int{{{x}^{2}}dx}=\frac{1}{3}{{x}^{3}} \).
Suy ra: \( z=\frac{1}{x}\left( \frac{1}{3}{{x}^{3}}+{{C}_{1}} \right)\Rightarrow {y}’=\frac{1}{3}{{x}^{2}}+\frac{{{C}_{1}}}{x}\Rightarrow y=\int{\left( \frac{1}{3}{{x}^{2}}+\frac{{{C}_{1}}}{x} \right)dx} \).
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là \( y=\frac{1}{9}{{x}^{3}}+{{C}_{1}}\ln \left| x \right|+{{C}_{2}} \).
Ví dụ 4. Giải phương trình vi phân \( {y}”-\frac{{{y}’}}{x-1}-x(x-1)=0 \) thỏa điều kiện đầu \( y(2)=1,\,\,{y}'(2)=-1 \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: \( y=\frac{{{x}^{4}}}{8}-\frac{{{x}^{3}}}{6}-\frac{3{{x}^{2}}}{2}+3x+\frac{1}{3} \).
3. Phương trình khuyết x
+ Định nghĩa: Phương trình khuyết x là phương trình vi phân có dạng \( {y}”=f(y,{y}’)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3) \)
+ Phương pháp giải:
– Bước 1. Đặt \( z={y}’ \) ta có: \( {y}”={z}’=\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}={y}’\frac{dz}{dy}=z\frac{dz}{dy} \).
– Bước 2. Biến đổi (3) trở thành \( z\frac{dz}{dy}=f(y,z) \).
Ví dụ 5. Giải phương trình vi phân \( (1-y){y}”+2{{({y}’)}^{2}}=0 \).
Hướng dẫn giải:
Đặt \( z={y}’\Rightarrow {y}”=z\frac{dz}{dy} \), phương trình trở thành: \( (1-y)z\frac{dz}{dy}+2{{z}^{2}}=0\Rightarrow \frac{dz}{z}=2\frac{dy}{y-1} \).
Suy ra: \( \int{\frac{1}{z}dz}=2\int{\frac{1}{y-1}dy}\Rightarrow \ln z=\ln \left| {{C}_{1}}{{(y-1)}^{2}} \right| \)
Hay \( z={{C}_{1}}{{(y-1)}^{2}}\Rightarrow \frac{dy}{dx}={{C}_{1}}{{(y-1)}^{2}} \).
Suy ra: \( \int{\frac{1}{{{(y-1)}^{2}}}dy}=\int{{{C}_{1}}dx}\Rightarrow -\frac{1}{y-1}={{C}_{1}}x+{{C}_{2}} \).
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là \( y=1-\frac{1}{{{C}_{1}}x+{{C}_{2}}} \).
Ví dụ 6. Giải phương trình vi phân \( {y}”+2{y}'(1-2y)=0 \) thỏa điều kiện đầu \( y(0)=0,\,\,{y}'(0)=\frac{1}{2} \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: \( y=\frac{x}{2(x+1)} \).
Ví dụ 7. Giải phương trình \( (1+{{y}^{2}})y{y}”-({{y}^{2}}-1){{({y}’)}^{2}}=0 \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: nghiệm tổng quát của phương trình là \( {{y}^{2}}+1={{e}^{2{{C}_{1}}x+{{C}_{2}}}} \).
Ví dụ 8. Giả sử hàm y(x) khả năng trong lân cận của điểm \( {{x}_{0}}=0 \) và \( y(0)=2,\,\,{y}'(0)=1 \). Giải phương trình vi phân \( 2y{y}”={{({y}’)}^{2}}+1 \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: \( y=\frac{1}{4}{{x}^{2}}+x+2 \).
Ví dụ 9. Giải phương trình vi phân \( {{({y}’)}^{2}}+y{y}”=y{y}’ \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: phương trình có nghiệm tổng quát là \( {{y}^{2}}={{C}_{1}}{{e}^{x}}+{{C}_{2}} \).
Ví dụ 10. Giải phương trình vi phân \( {{({y}’)}^{2}}=2y{y}”+{{y}^{2}} \).
Hướng dẫn giải:
Chia hai vế cho \( {{y}^{2}} \), phương trình trở thành: \( {{({{y}^{-1}}{y}’)}^{2}}=2{{y}^{-1}}{y}”+1 \).
Đặt \( z={{y}^{-1}}{y}’ \), ta có \( {z}’=({{y}^{-1}}{y}'{)}’=-{{({{y}^{-1}}{y}’)}^{2}}+{{y}^{-1}}{y}” \).
Biến đổi phương trình trở thành: \( -{{({{y}^{-1}}{y}’)}^{2}}=-2{{({{y}^{-1}}{y}’)}^{2}}+2{{y}^{-1}}{y}”+1 \)
Hay \( -{{z}^{2}}=2{z}’+1\Rightarrow -({{z}^{2}}+1)=2\frac{dz}{dx} \).
Suy ra: \( \int{\frac{1}{{{z}^{2}}+1}dz}=-\frac{1}{2}\int{dx}\Rightarrow \arctan z=-\frac{1}{2}x+{{C}_{1}} \)
\( \Rightarrow {{y}^{-1}}{y}’=-\tan \left( \frac{x}{2}-{{C}_{1}} \right)\Rightarrow \frac{dy}{y}=-\tan \left( \frac{x}{2}-{{C}_{1}} \right)dx \).
Tiếp tục biến đổi, ta được: \( \frac{dy}{y}=2\frac{d\left[ \cos \left( \frac{x}{2}-{{C}_{1}} \right) \right]}{\cos \left( \frac{x}{2}-{{C}_{1}} \right)} \).
Suy ra: \( \ln y=\ln {{\cos }^{2}}\left( \frac{x}{2}-{{C}_{1}} \right)+C\Rightarrow \ln y=\ln \left[ {{C}_{2}}{{\cos }^{2}}\left( \frac{x}{2}-{{C}_{1}} \right) \right] \).
Vậy phương trình có nghiệm tổng quát là \( y={{C}_{2}}{{\cos }^{2}}\left( \frac{x}{2}-{{C}_{1}} \right) \).
Trong quá trình đăng tải bài viết lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, nên bạn đọc muốn xem đầy đủ các dạng bài tập giải chi tiết hãy vui lòng mua sách Giải bài tập Giải Tích 2!
