3.7. Công thức Stokes

Dưới đây ta sẽ có công thức mở rộng công thức Green, đó là mối liên hệ giữa tích phân đường loại hai trong không gian với tích phân mặt loại hai.

Định lí 3.7 (Stokes): Giả sử mặt cong S định hướng được, trơn từng mảnh có biên là đường L trơn từng khúc. Nếu các hàm số P, Q, R liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một của chúng trên mặt cong S thì:

 \( \int\limits_{{{L}^{+}}}{Pdx+Qdy+Rdz}=\iint\limits_{S}{\left( \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z} \right)dydz+\left( \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x} \right)dzdx+\left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right)dxdy}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3.39) \)

Trong đó tích phân đường ở vế trái lấy theo hướng dương quy ước như sau: Đi theo hướng dương của L sao cho mặt cong S ở phía tay trái, khi đó mặt cong S được định hướng bởi vectơ pháp tuyến  \( \vec{n} \) hướng từ chân lên đầu (H.3.21).

Gọi (3.39) là công thức Stokes.

Chú ý:

(a) Công thức Green là trường hợp riêng của công thức Stokes (khi thay  \( z=0,\,\,R(x,y,z)=0 \) vào (3.39) nhận được công thức (3.20)).

(b) Tính tích phân đường loại hai  \( L\subset {{\mathbb{R}}^{3}} \) thường rất khó khăn (ta mới chỉ đưa ra công thức tính L cho bởi phương trình tham số, xem công thức (3.17)). Do đó công thức Stokes tỏ ra rất hiệu lực khi mà L là biên của các mặt cong nào đó mà tích phân mặt loại hai trên nó có thể tính dễ dàng.

(c) Xuất hiện từ công thức Stokes, ta nhận được định lí bốn mệnh đề tương đương xét trong không gian  \( {{\mathbb{R}}^{3}} \) tương tự như định lí 3.4.

+ Định lí 3.8: Giả sử các hàm  \( P(x,y,z),\,\,Q(x,y,z),\,\,R(x,y,z) \) liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một của chúng trên miền đơn liên V. Khi đó bốn mệnh đề sau đây là tương đương với nhau:

(1)  \( \frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial z},\,\,\frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial x},\,\,\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y},\,\,\forall (x,y,z)\in V \).

(2)  \( \oint\limits_{L}{Pdx+Qdy+Rdz}=0 \), L là đường cong kín bất kì nằm trong miền V.

(3)  \( \int\limits_{\overset\frown{AB}}{Pdx+Qdy+Rdz} \), trong đó  \( \overset\frown{AB}\subset V \), chỉ phụ thuộc vào hai điểm A, B mà không phụ thuộc dạng cung \( \overset\frown{AB} \).

(4) Biểu thức  \( Pdx+Qdy+Rdz \) là vi phân toàn phần của hàm  \( u(x,y,z) \) nào đó trên miền V. Trường hợp miền V là không gian thì hàm  \( u(x,y,z) \) có thể tính theo công thức:

 \( u(x,y,z)=\int\limits_{{{x}_{0}}}^{x}{P(x,y,z)dx}+\int\limits_{{{y}_{0}}}^{y}{Q({{x}_{0}},y,z)dy}+\int\limits_{{{z}_{0}}}^{z}{P({{x}_{0}},{{y}_{0}},z)dx}+C\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3.40) \)

Trong đó  \( ({{x}_{0}},{{y}_{0}},{{z}_{0}})\in V,\,\,(x,y,z)\in V \), C là hằng số tùy ý và:

 \( \int\limits_{\overset\frown{AB}}{Pdx+Qdy+Rdz}=u(A)-u(B)\,\,\,\,\,\,\,\,(3.41) \), trong đó  \( \overset\frown{AB}\subset V \).

Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 2 - Calculus II Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Ví dụ. Tính \(\oint\limits_{C}{ydx+zdy+xdz}\), với C là đường tròn, giao của mặt cầu \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}={{R}^{2}} \) và mặt phẳng  \( x+y+z=0 \) và hướng của L là ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn về phía  \( z>0 \).

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng  \( x+y+z=0 \) đi qua tâm mặt cầu. Vậy giao tuyến là đường tròn lớn.

Xem hình H.3.22, lấy hình tròn là mặt cong S có biên là C. Các cosin chỉ phương của  \( \vec{n} \) định hướng theo hướng của C là  \( \cos \alpha =\cos \beta =\cos \gamma =\frac{1}{\sqrt{3}} \) (Xem công thức (3.30)). Đặt  \( P=y,\,\,Q=y,\,\,R=x \), áp dụng công thức Stokes và công thức liên hệ giữa tích phân mặt loại hai và loại một theo công thức (3.35), ta có:

 \( I=-\iint\limits_{S}{dydz+dzdx+dxdy}=-\sqrt{3}\iint\limits_{S}{dS}=-\pi \sqrt{3}{{R}^{2}} \).

Sách Giải Bài Tập Giải Tích 2

Các bài viết cùng chủ đề!

Các Sách Giải Bài Tập - Đề Thi do Trung tâm phát hành!


Menu