Mỗi cặp số thực có thứ tự $(a; b)\ \forall a \in \mathbb{R}, \forall b \in \mathbb{R}$ được gọi là một số phức nếu trên tập hợp các cặp đó quan hệ bằng nhau, phép cộng và phép nhân được đưa vào theo các định nghĩa sau đây:

(I) Quan hệ bằng nhau

 \( ({{a}_{1}},{{b}_{1}})=({{a}_{2}},{{b}_{2}})\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}\begin{align}  & {{a}_{1}}={{a}_{2}} \\  & {{b}_{1}}={{b}_{2}}. \\\end{align}  \\\end{array} \right. \)

(II) Phép cộng

$$(a_1, b_1) + (a_2, b_2) \overset{def}{=} (a_1 + a_2, b_1 + b_2).$$

(III) Phép nhân

$$(a_1, b_1)(a_2, b_2) \overset{def}{=} (a_1 a_2 – b_1 b_2,\ a_1 b_2 + a_2 b_1).$$

Tập hợp số phức được ký hiệu là $\mathbb{C}$. Phép cộng (II) và phép nhân (III) trong $\mathbb{C}$ có tính chất giao hoán, kết hợp, liên hệ với nhau bởi luật phân bố và mọi phần tử $\ne (0, 0)$ đều có phần tử nghịch đảo.

Tập hợp $\mathbb{C}$ lập thành một trường (gọi là trường số phức) với phần tử không là cặp $(0; 0)$ và phần tử đơn vị là cặp $(1; 0)$. Áp dụng quy tắc (III) ta có: $(0; 1)(0; 1) = (-1; 0)$. Nếu ký hiệu $i = (0; 1)$ thì

$$i^2 = -1$$

Đối với các cặp dạng đặc biệt $(a, 0)$, $\forall a \in \mathbb{R}$ theo (II) và (III) ta có

$$(a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0),$$
$$(a, 0)(b, 0) = (ab, 0).$$

Từ đó về mặt đại số các cặp dạng $(a, 0)$, $a \in \mathbb{R}$ không có gì khác biệt với số thực $\mathbb{R}$: vì chúng được cộng và nhân như những số thực. Do vậy ta có thể đồng nhất các cặp dạng $(a; 0)$ với số thực $a$:

$$(a; 0) \equiv a \quad \forall a \in \mathbb{R}.$$

Đặc biệt là $(0; 0) \equiv 0;\ (1; 0) \equiv 1$.

Đối với số phức $z = (a, b)$:

1$^{+}$ Số thực $a$ được gọi là phần thực $a = \mathrm{Re}z$, số thực $b$ gọi là phần ảo và ký hiệu là $b = \mathrm{Im}z$.

2$^{+}$ Số phức $\overline{z} = (a, -b)$ gọi là số phức liên hợp với số phức $z$.

Hướng dẫn giải:

$(1)$ Ta có $i^0 = 1,\ i^1 = i,\ i^2 = -1,\ i^3 = -i,\ i^4 = 1,\ i^5 = i$ và giá trị lũy thừa bắt đầu lặp lại. Ta khái quát hóa.

Giả sử $n \in \mathbb{Z}$ và $n = 4k + r,\ r \in \mathbb{Z},\ 0 \le r \le 3$. Khi đó

$$i^n = i^{4k+r} = i^{4k} \cdot i^r = (i^4)^k i^r = i^r.$$

(vì $i^4 = 1$). Từ đó, theo kết quả trên ta có

$$
i^n =
\begin{cases}
1 & \text{nếu } n = 4k, \\
i & \text{nếu } n = 4k + 1, \\
-1 & \text{nếu } n = 4k + 2, \\
-i & \text{nếu } n = 4k + 3.
\end{cases}
\tag{1.2}
$$

Từ (1.2) dễ dàng suy ra a) và b).

$(2)$ a) Từ hệ thức $(1 + i)^n = (1 – i)^n$ suy ra

$\left(\frac{1 + i}{1 – i}\right)^n = 1.$

Nhưng $\frac{1 + i}{1 – i} = i$ nên $\left(\frac{1 + i}{1 – i}\right)^n = i^n = 1 \Rightarrow n = 4k,\ k \in \mathbb{Z}.$

b) Từ đẳng thức
$$
\left(\frac{1 + i}{\sqrt{2}}\right)^n + \left(\frac{1 – i}{\sqrt{2}}\right)^n = 0
$$
suy rằng
$$
\left(\frac{1 + i}{1 – i}\right)^n = -1
$$
và do đó $i^n = -1 \Rightarrow n = 4k + 2,\ k \in \mathbb{Z}.$