Bài Giảng Toán Cao Cấp

Giới thiệu

Bài toán tính giá trị gần đúng của một hàm số tại điểm x₁ gần với điểm x₀ mà giá trị  \( f({{x}_{0}}) \) đã biết rất hay gặp trong thực tế: bài toán lập biểu đồ, bài toán nội suy, … Việc tính toán trở nên đơn giản nhờ các phép tính cơ bản  \( +,-,\times ,\div  \) và lũy thừa khi đã khai triển hàm số thành chuổi Taylor. Việc biểu diễn một tín hiệu phức tạp thành các tín hiệu đơn giản hoặc các sóng phức tạp thành các sóng đơn giản chính là nhờ vào việc khai triển một hàm số thành chuỗi Fourier. Để có được cơ sở giải thích cho các bài toán dạng trên cần nắm vững các nội dung của lý thuyết chuỗi.

Trong mục thứ nhất cần nắm vững các khái niệm: hội tụ, phân kì của chuỗi số. Luôn luôn ghi nhớ điều kiện cần của sự hội tụ để nhận biết về khả năng phân kì của chuỗi số. Khi xem xét các tính chất của chuỗi số hội tụ phải nghĩa ngay xem các chuỗi phân kì có tính chất đó không. Điều này hoàn toàn giống như các dãy số hội tụ, các hàm lí tưởng, các hàm khả vi, … Phải nhận biết số hạng tổng quát của chuỗi số để phân loại được các đặc tính của chuỗi số: chuỗi số dương, chuỗi số đan dấu hay chuỗi số có dấu bất kì để từ đó sử dụng các tiêu chuẩn thích hợp để kết luận về sự hội tụ của nó. Đối với chuỗi số dương khi dùng tiêu chuẩn so sánh phải luôn dùng đến chuỗi Riemann. Bên cạnh đó phải nắm vững các tiêu chuẩn D’Alambert, tiêu chuẩn Cauchy, tiêu chuẩn tích phân Cauchy-MacLaurin để xem xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số dương. Đối với chuỗi đan dấu, có định lí Leibnitz, định lí cho ta điều kiện đủ để nhận biết sự hội tụ của nó. Định lí này đóng vai trò rất quan trọng trong việc đánh giá sai số của nhiều bài toán tính gần đúng. Trong định lí này, điều kiện dãy số (a_n) đơn điệu giảm là rất quan trọng, nhiều sinh viên hay bỏ qua điều kiện này. Khi xem xét chuỗi số có số hạng mang dấu bất ì trước hết nên xét sự hội tụ tuyệt đối của nó vì khi đó có thể lợi dụng được các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số dương.

Trong mục thứ hai cần nắm vững khái niệm miền hội tụ của chuỗi hàm vì bài toán tìm miền hội tụ của chuỗi hàm là một trong các bài toán cơ bản. Khái niệm hội tụ đều của chuỗi hàm là khái niệm rất khó cũng như khái niệm liên tục của hàm số. Chính vì thế phải đọc kĩ và hiểu chính xác khái niệm này. Nhờ vào sự hội tụ đều của chuỗi hàm mà có thể thực hiện được các phép tính giống như các phép tính về tổng hữu hạn. Điều kiện đủ để nhận biết chuỗi hàm hội tụ đều hay sử dụng là tiêu chuẩn Weierstrass.

Trong mục thứ ba cần nắm vững tính chất đặc biệt về miền hội tụ của chuỗi lũy thừa thông qua định lí Abel. Chính vì thế phải thuộc quy tắc tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa. Cần lưu ý cách tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa cách. Biết cách áp dụng các tính chất của lũy thừa: phép tính đạo hàm, phép tính tích phân có thể tính được tổng của một số chuỗi hàm. Khai triển Taylor tại lân cận x₀ hoặc khai triển Maclaurin thực chất là cách biểu diễn hàm số thành chuỗi lũy thừa. Ý nghĩa thật rõ ràng: một hàm số được biểu diễn qua một đa thức có bậc vô hạn, việc tính giá trị gần đúng của nó thông qua các phép tính  \( +,-,\times ,\div \) , lũy thừa. Tuy nhiên phải lưu ý đến  điều kiện đủ để hàm số khai triển thành chuỗi lũy thừa. Cần nhớ khai triển các hàm số thông dụng thành chuỗi Maclaurin để từ đó nhờ vào phép đổi biến thích hợp có thể giải quyết các bài toán khai triển thành chuỗi Taylor tại lân cận x₀ mà không phải tính đạo hàm. Chú ý rằng cũng nhờ vào khai triển taylor mà có thể tính được tổng của một số chuỗi số.

Trong mục thứ tư cần nắm vững công thức tính các hệ số Fourier của hàm số f(x). Nắm vững các dạng chuỗi Fourier: dạng chuỗi lượng giác và dạng phức. Nắm vững các dạng chuỗi Fourier khi hàm số có tính chất đặc biệt: hàm chẵn, hàm lẻ, hàm tuần hoàn với chu kỳ T. Bên cạnh đó biết cách biểu diễn hàm số đã cho theo các hàm sin hoặc  cosin. Phải chú ý đến định lí Dirichlet – điều kiện đủ khai triển hàm thành chuỗi Fourier và vận dụng định lí đó để tính tổng của một chuỗi số.