Bài Giảng Toán Cao Cấp

+ Định nghĩa chuỗi lũy thừa

Một chuỗi hàm có dạng  \( \sum\limits_{i=1}^{\infty }{{{a}_{i}},{{x}^{i}}},\,\,{{a}_{i}}\in \mathbb{R},\,\,\forall i\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4) \) hoặc  \( \sum\limits_{i=1}^{\infty }{{{a}_{i}}{{(x-a)}^{i}}},\,\,a \) là hằng số.

Gọi là một chuỗi lũy thừa. Trong chuỗi lũy thừa trên  \( {{a}_{i}} \) là các hằng số ( \( i=1,2,… \)) gọi là các hệ số của chuỗi lũy thừa.

+ Tính chất hội tụ của chuỗi lũy thừa

Định lí Abel: Nếu chuỗi lũy thừa (4) hội tụ tại  \( x={{x}_{0}}\ne 0 \) thì hội tụ tuyệt đối tại mọi điểm x thỏa mãn  \( \left| x \right|<\left| {{x}_{0}} \right| \).

Nếu chuỗi lũy thừa (4) phân kì tại  \( x={{x}_{1}} \) thì phân kì tại mọi điểm x thỏa mãn  \( \left| x \right|>\left| {{x}_{1}} \right| \).

+ Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa

Định lí 1: Đối với chuỗi lũy thừa (4) luôn tồn tại số  \( R\ge 0 \) để chuỗi hội tụ tuyệt đối trong khoảng  \( (-R,R) \), phân kì trong các khoảng  \( (-\infty ,-R),\,\,(R,+\infty ) \). Số R thỏa mãn điều kiện trên gọi là bán kính hội tụ của chuỗi (5.16).

Định lí 2: (Quy tắc tìm bán kính hội tụ)

Nếu \( \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left| \frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}} \right|=\rho \)  hoặc  \( \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[n]{\left| {{a}_{n}} \right|}=\rho \) , thì  \( R=\left\{ \begin{align}  & \frac{1}{\rho }\,\,\,\,\,\text{nếu }\,\,\,\,0<\rho <+\infty  \\  & 0\,\,\,\,\,\text{nếu }\,\,\,\,\rho =\infty  \\  & \infty \,\,\,\,\,\text{nếu }\,\,\,\,\rho =0 \\ \end{align} \right. \).

 \( R=0 \) nghĩa là chuỗi lũy thừa chỉ hội tụ tại  \( x=0 \)

 \( R=\infty \)  nghĩa là chuỗi lũy thừa hội tụ tại mọi x.

+ Tính chất của chuỗi lũy thừa

Giả sử chuỗi lũy thừa (4) có bán kính hội tụ  \( R>0 \) và [a,b] là đoạn tùy ý chứa trong khoảng  \( (-R,R) \).

Tính chất 1: Chuỗi lũy thừa hội tụ đều trên [a,b].

Tính chất 2: Chuỗi lũy thừa hội tụ đều về hàm S(x), liên tục trên  \( (-R,R) \).

Tính chất 3: Bất kì  \( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \) trong khoảng  \( (-R,R) \) luôn có  \( \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{{{a}_{n}}{{x}^{n}}}dx}=\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{{{a}_{n}}\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{{{x}^{n}}dx}} \).

Đặc biệt  \( \forall x\in (-R,R) \) thì  \( \int\limits_{0}^{x}{\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{a}_{n}}{{x}^{n}}}dx}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{{{a}_{n}}}{n+1}{{x}^{n+1}}} \).

Tính chất 4:  \( \forall x\in (-R,R) \) luôn có \({{\left( \sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{a}_{n}}{{x}^{n}}} \right)}^{\prime }}=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{n{{a}_{n}}{{x}^{n-1}}}\).