5.2. Chuỗi hàm

5.2.1. Các khái niệm chung về chuỗi hàm

+ Định nghĩa chuỗi hàm

Cho dãy hàm thực  \( \left( {{f}_{n}}(x) \right),\,\,x\in (a,b) \), gọi  \( {{f}_{1}}(x)+{{f}_{2}}(x)+…+{{f}_{n}}(x)+…+=\sum\limits_{k=1}^{\infty }{{{f}_{k}}(x)}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(***) \) là một chuỗi hàm xác định trên  \( (a,b) \).

+ Miền hội tụ của chuỗi hàm

(I) Điểm  \( {{x}_{0}}\in (a,b) \) là điểm hội tụ của chuỗi hàm nếu chuỗi số  \( \sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{f}_{n}}({{x}_{0}})} \) hội tụ.

(II) Tập X các điểm hội tụ của chuỗi hàm gọi là miền hội tụ của chuỗi hàm.

(III) Hàm số  \( {{S}_{n}}(x)=\sum\limits_{k=1}^{n}{{{f}_{k}}(x)} \) với  \( x\in (a,b) \) gọi là tổng riêng thứ n chuỗi hàm. Chuỗi hàm gọi là hội tụ về S(x) với  \( x\in X \) nếu \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{S}_{n}}(x)=S(x),\,\,\forall x\in X\). Trong trường hợp này kí hiệu  \( \sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{f}_{n}}(x)}=S(x),\,\,x\in X \).

(IV) Nếu chuỗi hàm \(\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left| {{f}_{n}}(x) \right|}\) hội tụ tuyệt đối trên tập X.

Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 2 - Calculus II Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

5.2.2. Sự hội tụ đều của chuỗi hàm

+ Định nghĩa

(I) Dãy hàm  \( \left( {{f}_{n}}(x) \right) \) được gọi là hội tụ đều về hàm f(x) trên tập X nếu như  \( \forall \varepsilon >0,\,\,\exists {{n}_{0}}(\varepsilon ),\,\,\forall n>{{n}_{0}}\Rightarrow \left| {{f}_{n}}(x)-f(x) \right|<\varepsilon ,\,\,\forall x\in X \).

(II) Chuỗi hàm (***) được gọi là hội tụ đều về hàm S(x) trên X nếu dãy tổng riêng của nó hội tụ đều về S(x) trên X.

Nghĩa là  \( \forall \varepsilon >0,\,\,\exists {{n}_{0}}(\varepsilon ),\,\,\forall n>{{n}_{0}}\Rightarrow \left| {{S}_{n}}(x)-S(x) \right|<\varepsilon ,\,\,\forall x\in X \).

Vậy nếu chuỗi hội tụ đều về S(x) thì phân dư  \( {{R}_{n}}(x)=S(x)-{{S}_{n}}(x) \) sẽ hội tụ đều về 0, tức là:

 \( \forall \varepsilon >0,\,\,\exists {{n}_{0}}(\varepsilon ),\,\,\forall n>{{n}_{0}}\Rightarrow \left| {{R}_{n}}(x) \right|<\varepsilon ,\,\,\forall x\in X \)

Trong trường hợp chuỗi hội tụ đều về hàm S(x) trên (a,b) thường kí hiệu \(\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{f}_{n}}(x)}\Rightarrow S(x),\,\,x\in (a,b)\).

+ Các tiêu chuẩn về sự hội tụ đều của chuỗi hàm

(I) Tiêu chuẩn Cauchy

Định lí: Giả sử  \( \left( {{S}_{n}}(x) \right) \) là dãy tổng riêng của chuỗi hàm. Để chuỗi hàm hội tụ đều trên tập X điều kiện cần và đủ là:

 \( \forall \varepsilon >0,\,\,\exists {{n}_{0}}(\varepsilon ),\,\,\forall n>{{n}_{0}},\,\,\forall p\in \mathbb{N}\Rightarrow \left| {{S}_{n+p}}(x)-{{S}_{n}}(x) \right|<\varepsilon ,\,\,\forall x\in X \).

(II) Tiêu chuẩn Weierstrass.

Định lí: Giả sử các số hạng của chuỗi hàm thỏa mãn bất đẳng thức  \( \left| {{f}_{n}}(x) \right|\le {{a}_{n}},\,\,\forall x\in X \) và chuỗi số \(\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}}\) hội tụ. Khi đó chuỗi hàm \(\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{f}_{n}}(x)}\) hội tụ tuyệt đối và đều trên tập X.

+ Các tính chất của chuỗi hàm hội tụ đều

Định lí 1: Cho chuỗi hàm (***), các hàm số  \( {{f}_{i}}(x),\,\,(i=1,2,…) \) liên tục trên tập X và hội tụ đều về S(x) trên X thì S(x) liên tục trên X.

Định lí 2: Cho chuỗi hàm (***) hội tụ đều về S(x) trên [a,b] và các hàm  \( {{f}_{i}}(x),\,\,(i=1,2,…) \) liên tục trên [a,b] thì

 \( \int\limits_{a}^{b}{S(x)dx}=\sum\limits_{i=1}^{\infty }{\int\limits_{a}^{b}{{{f}_{i}}(x)dx}} \)

Định lí 3: Nếu chuỗi hàm (2) hội tụ về hàm S(x) trên tập X và các hàm \( {{f}_{i}}(x) \) thỏa mãn:

 \( \bullet \,\,{{{f}’}_{i}}(x) \) liên tục trên X,  \( \forall i=1,2,… \)

 \( \bullet \,\,\sum\limits_{i=1}^{\infty }{{{{{f}’}}_{i}}(x)} \) hội tụ đều về R(x) trên X.

Khi đó  \( {S}'(x)=R(x)=\sum\limits_{i=1}^{\infty }{{{{{f}’}}_{i}}(x)},\,\,x\in X \).

Sách Giải Bài Tập Giải Tích 2

Trong quá trình đăng tải bài viết lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, nên bạn đọc muốn xem đầy đủ các dạng bài tập giải chi tiết hãy vui lòng mua sách Giải bài tập Giải Tích 2!

Các bài viết cùng chủ đề!

Các Sách Giải Bài Tập - Đề Thi do Trung tâm phát hành!


Menu