Bài Giảng Toán Cao Cấp

+ Định nghĩa chuỗi số và sự hội tụ của chuỗi số

(I) Cho dãy số thực  \( ({{a}_{n}}),\,\,{{a}_{n}}\in \mathbb{R} \) với mọi n.

Gọi  \( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+…+{{a}_{n}}+… \) là một chuỗi số thực.

Kí hiệu chuỗi số trên là \(\sum\limits_{k=1}^{\infty }{{{a}_{k}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\)

Số thực a_k với k xác định gọi là số hạng thứ k của chuỗi, với k không xác định gọi là số hạng tổng quát của chuỗi. Sau đây là một vài chuỗi số đặc biệt:

 \( \sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{(-1)}^{n-1}}\cdot \frac{1}{n}}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-…+{{(-1)}^{n-1}}\frac{1}{n}+…\) có số hạng tổng quát là  \( {{(-1)}^{n-1}}\frac{1}{n} \) .

 \( \sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{(-1)}^{n-1}}}=1-1+1-1+…+{{(-1)}^{n-1}}+… \)

 \( \sum\limits_{k=0}^{\infty }{\frac{1}{{{2}^{k}}}}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+…+\frac{1}{{{2}^{k}}}+… \) gọi là chuỗi cấp số nhân có công bội là  \( \frac{1}{2} \).

 \( \sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{n}}=1+\frac{1}{2}+…+\frac{1}{n}+… \) gọi là chuỗi điều hòa.

 \( \sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{{{n}^{\alpha }}}}=1+\frac{1}{{{2}^{\alpha }}}+\frac{1}{{{3}^{\alpha }}}+…+\frac{1}{{{n}^{\alpha }}}+… \) gọi là chuỗi Riemann với tham số  \( \alpha \) .

(II) Cho chuỗi số (1). Gọi tổng riêng thứ n của chuỗi (1) là:  \( {{S}_{n}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{i}}} \).

Nếu  \( \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{S}_{n}}=S \) (hữu hạn) thì  nói rằng chuỗi số (1) hội tụ và có tổng là S, khi đó kí hiệu  \( \sum\limits_{i=1}^{\infty }{{{a}_{i}}}=S \). Nếu không xảy ra điều trên nói rằng chuỗi (1) phân kì.

(III) Nếu chuỗi (1) hội tụ về S thì gọi  \( {{R}_{n}}=S-{{S}_{n}} \) là phần dư thứ n của chuỗi . Theo trên suy ra: Để chuỗi (1) hội tụ về S thì cần và đủ là phần dư R_n hội tụ về 0.

+ Điều kiện hội tụ của chuỗi số

Từ điều kiện Cauchy cho dãy số hội tụ suy ra:

Định lí 1: Để chuỗi số (1) hội tụ thì cần và đủ là  \( \forall \varepsilon >0,\,\,\exists {{n}_{0}}:\forall n>{{n}_{0}},\,\,\forall p,n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \)

 \( \Rightarrow \left| {{a}_{n}}+{{a}_{n+1}}+…+{{a}_{n+p}} \right|<\varepsilon \) .

Từ định nghĩa về sự hội tụ của chuỗi số suy ra:

Định lí 2: Điều kiện cần của chuỗi số hội tụ là số hạng tổng quát  \( {{a}_{n}} \) dần đến 0 khi  \( n\to \infty :\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=0 \).

+ Tính chất của chuỗi số hội tụ

(I) Tính chất hội tụ hay phân kì của chuỗi số vẫn giữ nguyên khi thay đổi hữu hạn số hạng đầu tiên của chuỗi.

(II) Nếu chuỗi (1) hội tụ về S thì chuỗi  \( \sum\limits_{i=1}^{\infty }{\lambda {{a}_{i}}} \) hội tụ về  \( \lambda S \). Thật vậy nếu gọi tổng riêng thứ n của (5.1) là S_n thì

 \( \sum\limits_{i=1}^{n}{\lambda {{a}_{i}}}=\lambda \sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{i}}}=\lambda {{S}_{n}} \).

 \( \sum\limits_{i=1}^{\infty }{\lambda {{a}_{i}}}=\lambda S \)

(III) Nếu các chuỗi  \( \sum\limits_{i=1}^{\infty }{{{a}_{i}}} \) và  \( \sum\limits_{i=1}^{\infty }{{{b}_{i}}} \) hội tụ tương ứng về A và B thì chuỗi  \( \sum\limits_{i=1}^{\infty }{({{a}_{i}}+{{b}_{i}})} \) hội tụ về  \( A+B \).

Thật vậy  \( \sum\limits_{i=1}^{n}{({{a}_{i}}+{{b}_{i}})}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{i}}}+\sum\limits_{i=1}^{n}{{{n}_{i}}} \)

Qua giới hạn sẽ có  \( \sum\limits_{i=1}^{\infty }{({{a}_{i}}+{{b}_{i}})}=A+B \).