5.4. Chuỗi Fourier

5.4.1. Các khái niệm chung

+ Chuỗi lượng giác

Chuỗi hàm có dạng  \( \frac{{{a}_{0}}}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}\cos nx+{{b}_{n}}\sin nx}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(5) \)

Trong đó  \( {{a}_{0}},{{a}_{n}},{{b}_{n}},n=1,2,… \) là các hằng số, được gọi là một chuỗi lượng giác.

+ Điều kiện hội tụ của chuỗi lượng giác

Định lí 1: Nếu các chuỗi số  \( \sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}},\,\,\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{b}_{n}}} \) hội tụ tuyệt đối thì chuỗi lượng giác (5) hội tụ tuyệt đối và đều trên tập  \( \mathbb{R} \).

Định lí 2: Nếu các dãy số  \( ({{a}_{n}}),({{b}_{n}}) \) đơn điệu giảm và hội tụ về 0 khi  \( n\to \infty \)  thì chuỗi lượng giác (5) hội tụ trên tập  \( X=\mathbb{R}\backslash \{2m\pi ,m\in \mathbb{Z}\} \)

+ Chuỗi Fourier

Cho hàm số  \( f(x) \) khả tích trên  \( [-\pi ,\pi ] \), chuỗi lượng giác có dạng  \( \frac{{{a}_{0}}}{2}+\sum\limits_{k=1}^{\infty }{{{a}_{k}}\cos kx+{{b}_{k}}\sin kx}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(6) \)

Trong đó  \( {{a}_{0}}=\frac{1}{\pi }\int\limits_{-\pi }^{\pi }{f(x)dx},\,\,{{a}_{k}}=\frac{1}{\pi }\int\limits_{-\pi }^{\pi }{f(x)\cos kxdx},\,\,{{b}_{k}}=\frac{1}{\pi }\int\limits_{-\pi }^{\pi }{f(x)\sin kxdx},\,\,k=1,2,… \) được gọi là chuỗi Fourier của hàm số f(x), các hằng số theo công thức trên gọi là các hệ số Fourier của hàm số f(x).

+ Chuỗi Fourier trong dạng phức

Chuỗi Fourier có dạng  \( {{c}_{0}}+\sum\limits_{k=1}^{\infty }{{{c}_{k}}{{e}^{ikx}}+{{c}_{-k}}{{e}^{-ikx}}} \) hay  \( \sum\limits_{k=-\infty }^{+\infty }{{{c}_{k}}{{e}^{ikx}}} \) với  \( {{c}_{k}}=\frac{1}{\pi }\int\limits_{-\pi }^{\pi }{f(x){{e}^{-ikx}}dx},\,\,k=0,\pm 1,\pm 2,… \) gọi là chuỗi Fourier của hàm f(x) trong dạng phức.

+ Hàm số khai triển thành chuỗi Fourier

Nếu trong  \( [-\pi ,\pi ] \) chuỗi Fourier (6) hội tụ về chính hàm số f(x) thì nói rằng hàm số f(x) khai triển được thành chuỗi Fourier trên  \( [-\pi ,\pi ] \).

Định lí: Nếu f(x) biểu diễn thành chuỗi lượng giác (5) trên  \( [-\pi ,\pi ] \) và các chuỗi số  \( \sum\limits_{i=1}^{\infty }{{{a}_{i}}},\,\,\sum\limits_{i=1}^{\infty }{{{b}_{i}}} \) hội tụ tuyệt đối thì chuỗi đó chính là chuỗi Fourier của f(x).

Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 2 - Calculus II Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

5.4.2. Điều kiện đủ để hàm số khai triển thành chuỗi Fourier

+ Định lí Dirichlet: Nếu f(x) tuần hoàn với chu kỳ \( 2\pi  \) , đơn điệu từng khúc và bị chặn trên  \( [-\pi ,\pi ] \) thì chuỗi Fourier của hàm số f(x) hội tụ về tổng S(x) trên tập \( \mathbb{R} \). Tổng S(x) có tính chất:

 \( S(x)=\frac{1}{2}\left[ f(x-0)+f(x+0) \right],\,\,\forall x\in \mathbb{R} \).

Sách Giải Bài Tập Giải Tích 2

Trong quá trình đăng tải bài viết lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, nên bạn đọc muốn xem đầy đủ các dạng bài tập giải chi tiết hãy vui lòng mua sách Giải bài tập Giải Tích 2!

Các bài viết cùng chủ đề!

Các Sách Giải Bài Tập - Đề Thi do Trung tâm phát hành!


Menu