+ Chuỗi lượng giác

Chuỗi hàm có dạng  \( \frac{{{a}_{0}}}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}\cos nx+{{b}_{n}}\sin nx}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(5) \)

Trong đó  \( {{a}_{0}},{{a}_{n}},{{b}_{n}},n=1,2,… \) là các hằng số, được gọi là một chuỗi lượng giác.

+ Điều kiện hội tụ của chuỗi lượng giác

Định lí 1: Nếu các chuỗi số  \( \sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}},\,\,\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{b}_{n}}} \) hội tụ tuyệt đối thì chuỗi lượng giác (5) hội tụ tuyệt đối và đều trên tập  \( \mathbb{R} \).

Định lí 2: Nếu các dãy số  \( ({{a}_{n}}),({{b}_{n}}) \) đơn điệu giảm và hội tụ về 0 khi  \( n\to \infty \)  thì chuỗi lượng giác (5) hội tụ trên tập  \( X=\mathbb{R}\backslash \{2m\pi ,m\in \mathbb{Z}\} \)

+ Chuỗi Fourier

Cho hàm số  \( f(x) \) khả tích trên  \( [-\pi ,\pi ] \), chuỗi lượng giác có dạng  \( \frac{{{a}_{0}}}{2}+\sum\limits_{k=1}^{\infty }{{{a}_{k}}\cos kx+{{b}_{k}}\sin kx}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(6) \)

Trong đó  \( {{a}_{0}}=\frac{1}{\pi }\int\limits_{-\pi }^{\pi }{f(x)dx},\,\,{{a}_{k}}=\frac{1}{\pi }\int\limits_{-\pi }^{\pi }{f(x)\cos kxdx},\,\,{{b}_{k}}=\frac{1}{\pi }\int\limits_{-\pi }^{\pi }{f(x)\sin kxdx},\,\,k=1,2,… \) được gọi là chuỗi Fourier của hàm số f(x), các hằng số theo công thức trên gọi là các hệ số Fourier của hàm số f(x).

+ Chuỗi Fourier trong dạng phức

Chuỗi Fourier có dạng  \( {{c}_{0}}+\sum\limits_{k=1}^{\infty }{{{c}_{k}}{{e}^{ikx}}+{{c}_{-k}}{{e}^{-ikx}}} \) hay  \( \sum\limits_{k=-\infty }^{+\infty }{{{c}_{k}}{{e}^{ikx}}} \) với  \( {{c}_{k}}=\frac{1}{\pi }\int\limits_{-\pi }^{\pi }{f(x){{e}^{-ikx}}dx},\,\,k=0,\pm 1,\pm 2,… \) gọi là chuỗi Fourier của hàm f(x) trong dạng phức.

+ Hàm số khai triển thành chuỗi Fourier

Nếu trong  \( [-\pi ,\pi ] \) chuỗi Fourier (6) hội tụ về chính hàm số f(x) thì nói rằng hàm số f(x) khai triển được thành chuỗi Fourier trên  \( [-\pi ,\pi ] \).

Định lí: Nếu f(x) biểu diễn thành chuỗi lượng giác (5) trên  \( [-\pi ,\pi ] \) và các chuỗi số  \( \sum\limits_{i=1}^{\infty }{{{a}_{i}}},\,\,\sum\limits_{i=1}^{\infty }{{{b}_{i}}} \) hội tụ tuyệt đối thì chuỗi đó chính là chuỗi Fourier của f(x).