+ Chuỗi lượng giác
Chuỗi hàm có dạng \( \frac{{{a}_{0}}}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}\cos nx+{{b}_{n}}\sin nx}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(5) \)
Trong đó \( {{a}_{0}},{{a}_{n}},{{b}_{n}},n=1,2,… \) là các hằng số, được gọi là một chuỗi lượng giác.
+ Điều kiện hội tụ của chuỗi lượng giác
Định lí 1: Nếu các chuỗi số \( \sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{a}_{n}}},\,\,\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{b}_{n}}} \) hội tụ tuyệt đối thì chuỗi lượng giác (5) hội tụ tuyệt đối và đều trên tập \( \mathbb{R} \).
Định lí 2: Nếu các dãy số \( ({{a}_{n}}),({{b}_{n}}) \) đơn điệu giảm và hội tụ về 0 khi \( n\to \infty \) thì chuỗi lượng giác (5) hội tụ trên tập \( X=\mathbb{R}\backslash \{2m\pi ,m\in \mathbb{Z}\} \)
+ Chuỗi Fourier
Cho hàm số \( f(x) \) khả tích trên \( [-\pi ,\pi ] \), chuỗi lượng giác có dạng \( \frac{{{a}_{0}}}{2}+\sum\limits_{k=1}^{\infty }{{{a}_{k}}\cos kx+{{b}_{k}}\sin kx}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(6) \)
Trong đó \( {{a}_{0}}=\frac{1}{\pi }\int\limits_{-\pi }^{\pi }{f(x)dx},\,\,{{a}_{k}}=\frac{1}{\pi }\int\limits_{-\pi }^{\pi }{f(x)\cos kxdx},\,\,{{b}_{k}}=\frac{1}{\pi }\int\limits_{-\pi }^{\pi }{f(x)\sin kxdx},\,\,k=1,2,… \) được gọi là chuỗi Fourier của hàm số f(x), các hằng số theo công thức trên gọi là các hệ số Fourier của hàm số f(x).
+ Chuỗi Fourier trong dạng phức
Chuỗi Fourier có dạng \( {{c}_{0}}+\sum\limits_{k=1}^{\infty }{{{c}_{k}}{{e}^{ikx}}+{{c}_{-k}}{{e}^{-ikx}}} \) hay \( \sum\limits_{k=-\infty }^{+\infty }{{{c}_{k}}{{e}^{ikx}}} \) với \( {{c}_{k}}=\frac{1}{\pi }\int\limits_{-\pi }^{\pi }{f(x){{e}^{-ikx}}dx},\,\,k=0,\pm 1,\pm 2,… \) gọi là chuỗi Fourier của hàm f(x) trong dạng phức.
+ Hàm số khai triển thành chuỗi Fourier
Nếu trong \( [-\pi ,\pi ] \) chuỗi Fourier (6) hội tụ về chính hàm số f(x) thì nói rằng hàm số f(x) khai triển được thành chuỗi Fourier trên \( [-\pi ,\pi ] \).
Định lí: Nếu f(x) biểu diễn thành chuỗi lượng giác (5) trên \( [-\pi ,\pi ] \) và các chuỗi số \( \sum\limits_{i=1}^{\infty }{{{a}_{i}}},\,\,\sum\limits_{i=1}^{\infty }{{{b}_{i}}} \) hội tụ tuyệt đối thì chuỗi đó chính là chuỗi Fourier của f(x).
+ Định lí Dirichlet: Nếu f(x) tuần hoàn với chu kỳ \( 2\pi \) , đơn điệu từng khúc và bị chặn trên \( [-\pi ,\pi ] \) thì chuỗi Fourier của hàm số f(x) hội tụ về tổng S(x) trên tập \( \mathbb{R} \). Tổng S(x) có tính chất:
\( S(x)=\frac{1}{2}\left[ f(x-0)+f(x+0) \right],\,\,\forall x\in \mathbb{R} \).
Trong quá trình đăng tải bài viết lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, nên bạn đọc muốn xem đầy đủ các dạng bài tập giải chi tiết hãy vui lòng mua sách Giải bài tập Giải Tích 2!
Bài Giảng Toán Cao Cấp được xây dựng trên WordPress