Bài Giảng Toán Cao Cấp

Trong vật lý, đặc biệt trong kỹ thuật thường gặp khái niệm trường: Trường nhiệt độ, từ trường, điện trường,… Khái niệm trường trong toán học là tổng quát hóa các trường hợp cụ thể đó. Miền  \( \Omega \in {{\mathbb{R}}^{3}} \) xác định một trường vô hướng u(x,y,z) nếu tại mọi điểm  \( M(x,y,z)\in \Omega \)  đều xác định đại lượng vô hướng  \( u(M) \). Chẳng hạn trường nhiệt độ là một trường vô hướng. Vậy đặc trưng của trường vô hướng là một hàm vô hướng. Miền  \( \Omega \in {{\mathbb{R}}^{3}} \) xác định một trường vectơ  \( \vec{F}(x,y,z) \) nếu tại mọi điểm  \( M(x,y,z)\in \Omega \)  đều xác định đại lượng vectơ:

 \( \vec{F}(x,y,z)=P(x,y,z)\cdot \vec{i}+Q(x,y,z)\cdot \vec{j}+R(x,y,z)\cdot \vec{k}=(P,Q,R) \).

Chẳng hạn từ trường là một trường vectơ. Vậy đặc trưng của trường vectơ là một hàm vectơ. Một trường vectơ xác định khi biết ba thành phần của vectơ đặc trưng cho trường đó:  \( P(x,y,z),\,\,Q(x,y,z),\,\,R(x,y,z) \), tức là biết ba trường vô hướng. Từ nay về sau ta dùng các kí hiệu:  \( \vec{r}=(x,y,z) \) thay cho \(\overrightarrow{OM}\), trong đó M có tọa độ (x,y,z),  \( d\vec{r}=(dx,dy,dz) \),  \( d\vec{S}=(dydz,dzdx,dxdy) \).

Để học tốt chương này, người học cần thông thạo phép tính vi tích phân hàm nhiều biến.

Trong chương này, yêu cầu nắm vững các nội dung chính sau đây:

(1) Các đặc trưng của trường vô hướng.

Mặt mức, Gradient và ý nghĩa vật lý của các đại lượng đó.

(2) Các đặc trưng của trường vectơ.

Đường dòng, thông lượng, độ phân kì, hoàn lưu, vectơ xoáy và ý nghĩa vật lý của các đại lượng đó.

(3) Các trường đặc biệt.

Điều kiện nhận biết và tính chất của các trường đặc biệt: trường ống, trường điều hòa, trường thế.