Bài Giảng Toán Cao Cấp
Chương 4. Lý thuyết trường
4.3.1. Trường thế
a) Định nghĩa: Trường vectơ \( \vec{F}(M) \) gọi là trường thế nếu tồn tại một trường vô hướng u(M) sao cho:
\( \vec{F}(M)=gradu(M),\,\,\forall M\in V\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4.10) \)
Khi đó hàm u(M) được gọi là hàm thế hay hàm thế vị của trường \( \vec{F}(M) \), còn \( V(M)=-u(M) \) gọi là thế năng của trường.
Giả sử \( \vec{F}(M)=(P,Q,R) \) là trường thế với hàm thế là u(M).
Khi đó \( P=\frac{\partial u}{\partial x},\,\,Q=\frac{\partial u}{\partial y},\,\,R=\frac{\partial u}{\partial z} \), tức là: \( du=Pdx+Qdy+Rdz \) nghĩa là \( Pdx+Qdy+Rdz \) là vi phân toàn phần của hàm u(M).
b) Tính chất: Xuất phát từ định lí bốn mệnh đề tương đương, suy ra:
(1) Để trường \( \vec{F}(M) \) là trường thế, điều kiện cần và đủ là trường \( \vec{F}(M) \) không xoáy \( (rot\vec{F}(M),\,\,\forall M\notin V) \).
(2) Hoàn lưu của trường \( \vec{F}(M) \) theo mọi chu tuyến kín, trơn từng khúc trong V đều bằng 0 \( \left( \oint\limits_{L}{\vec{F}\cdot d\vec{r}}=0 \right) \).
Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 2 - Calculus II Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán Cao Cấp gồm:
- Giải Tích 1, Giải Tích 2, Giải tích 3
- Đại Số Tuyến Tính, Xác Suất Thống Kê
- Sách Giải Bài Tập của bộ môn Toán Cao Cấp!
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
Ví dụ 1. Chứng tỏ rằng trường lực hấp dẫn tạo bởi Trái Đất tác động lên vệ tinh là trường và tìm hàm thế của nó.
Hướng dẫn giải:
Theo định luật Newton, trượng lực hấp dẫn sẽ là: \( \vec{F}(x,y,z)=\gamma \frac{M\cdot m}{{{\left| r \right|}^{3}}}\vec{r} \).
Trong đó M là khối lượng Trái Đất, m là khối lượng vệ tinh, \( \gamma \) là hệ số hấp dẫn, P(x,y,z) là vị trí của vệ tinh, có gốc tọa độ coi là vị trí Trái Đất.
Ta có: \( rot\vec{F}=0,\,\,\forall P(x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}\backslash \{0,0,0\} \).
Vậy trường lực hấp dẫn là trường thế. Hàm thế tính theo công thức (3.40):
\(u(P)=\int\limits_{\overset\frown{{{M}_{0}}M}}{\vec{F}d\vec{r}}+u({{M}_{0}})=-\gamma Mm\int\limits_{\overset\frown{{{M}_{0}}M}}{\frac{xdy+ydy+zdz}{{{({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}})}^{3/2}}}}=\gamma Mm\int\limits_{\overset\frown{{{M}_{0}}M}}{d\left( \frac{1}{r} \right)}+u({{M}_{0}})=\frac{\gamma Mm}{r}+u({{M}_{0}})\)
Trong đó các điểm \( {{P}_{0}},P \) không trùng gốc tọa độ.
4.3.2. Trường ống
a) Định nghĩa
Trường vectơ \( \vec{F}(M) \) gọi là trường ống nếu \( div\vec{F}(M)=0,\,\,\forall M\in V \) hay \( \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4.11) \)
Ta gọi ống dòng của trường vectơ là phần không gian trong V tạo bởi các đường dòng tựa trên biên của một mặt cong S nào đó trong trường. Bản thân mặt S cũng như các thiết diện ngang của ống gọi là thiết diện của ống dòng.
b) Tính chất
Từ công thức Gauss – Ostrogradski ta suy ra các tính chất sau đây của trường ống:
+ Thông lượng của trường ống qua mặt cong kín S bất kì trong trường đều bằng không. Thật vậy, \( \Phi =\iint\limits_{S}{\vec{F}\cdot d\vec{S}}=\iiint\limits_{\Omega }{div\vec{F}dxdydz}=0 \).
+ Nếu V là đơn liên thì thông lượng của trường ống qua mặt S có biên L trong trường chỉ phụ thuộc vào biên L mà không phụ thuộc vào mặt S. Thật vậy, giả sử S1 và S2 là hai mặt cùng căng bởi biên L. Gọi \( \Omega \) là miền giới hạn bởi hai mặt này thì:
\( 0=\iiint\limits_{\Omega }{div\vec{F}dxdydz}=\iint\limits_{{{S}_{1}}}{\vec{F}\cdot d\vec{S}}-\iint\limits_{{{S}_{2}}}{\vec{F}\cdot d\vec{S}} \).
Suy ra: \( \iint\limits_{{{S}_{1}}}{\vec{F}\cdot d\vec{S}}=\iint\limits_{{{S}_{2}}}{\vec{F}\cdot d\vec{S}} \)
+ Thông lượng qua mọi thiết diện của một ống dòng trong trường ống đều bằng không.
Thật vậy giả sử S1 và S2 là hai thiết diện của ống dòng (H.4.1). Gọi Sxq là mặt xung quanh của ống dòng giữa S1 và S2, \( \Omega \) là vật thể giới hạn bởi \( {{S}_{xq}},{{S}_{1}},{{S}_{2}} \).
Theo tính chất 1, ta có: \( 0=\iint\limits_{{{S}_{1}}}{\vec{F}\cdot \vec{n}\cdot dS}+\iint\limits_{{{S}_{2}}}{\vec{F}\cdot \vec{n}\cdot dS}+\iint\limits_{{{S}_{xq}}}{\vec{F}\cdot \vec{n}\cdot dS} \).
Ở đây \( \vec{n} \) định hướng ra phía ngoài của \( \Omega \) .
Theo định nghĩa của đường dòng, nên trên biên Sxq thì \( \vec{F}\cdot \vec{n}=0 \). Mặt khác, trên biên S1 thì \( {{\vec{n}}_{1}} \) ngược hướng với \( \vec{n} \), tức là \( \vec{F}\cdot \vec{n}=-\vec{F}\cdot {{\vec{n}}_{1}} \).
Còn trên biên S2 thì \( {{\vec{n}}_{2}} \) cùng hướng với \( \vec{n} \).
Từ đó suy ra: \(0=-\iint\limits_{{{S}_{1}}}{\vec{F}\cdot {{{\vec{n}}}_{1}}dS}+\iint\limits_{{{S}_{2}}}{\vec{F}\cdot {{{\vec{n}}}_{2}}dS}\)
Hay là \(\iint\limits_{{{S}_{1}}}{\vec{F}d\vec{S}}=\iint\limits_{{{S}_{2}}}{\vec{F}d\vec{S}}\).
Dễ dàng kiểm tra thấy được trường hấp dẫn (ví dụ 1) hay điện trường đều là các trường ống và trường thế trừ gốc tọa độ. Do đó thông lượng qua mọi mặt cong kín không bao gốc tọa độ đều bằng 0.
Sách Giải Bài Tập Giải Tích 2
Ví dụ 2. Tìm thông lượng của điện trường sinh ra bởi điện tích q đặt ở gốc tọa độ qua phía ngoài mặt cong kín S bất kì bao gốc tọa độ.
Hướng dẫn giải:
Từ bài toán ví dụ chương 3, ta có điện trường: \( \vec{E}=q\cdot \frac{{\vec{r}}}{{{r}^{3}}} \) và thông lượng qua mặt cầu bán kính R là \( 4\pi q \) nghĩa là không phụ thuộc bán kính R. Giả sử S là mặt cong kín nào đó bao gốc tọa độ. Gọi \( {{S}_{R}} \) mặt cầu tâm ở gốc tọa độ và bán kính R đủ lớn sao cho \( {{S}_{R}} \) bao cả S (H.4.2). Gọi \( \Omega \) miền giới hạn bởi S và \( {{S}_{R}} \). Khi đó:
\( \iiint\limits_{S\cap {{S}_{R}}}{\vec{E}\cdot \vec{n}\cdot dS}=\iiint\limits_{\Omega }{dic\vec{E}dxdydz}=0 \).
Suy ra \( \iint\limits_{{{S}_{R}}}{\vec{E}\cdot \vec{n}\cdot dS}=-\iint\limits_{S}{\vec{E}\cdot \vec{n}\cdot dS} \), trong đó vectơ \( \vec{n} \) của S hướng vào gốc tọa độ. Vậy thông lượng qua phía ngoài mặt cong S chính bằng thông lượng qua phía ngoài mặt cầu \( {{S}_{R}} \) và bằng \( 4\pi q \).
4.3.3. Trường điều hòa
a) Định nghĩa: Trường vectơ \( \vec{F}(M) \) gọi là trường điều hòa nếu nó vừa là trường ống vừa là trường thế, tức là:
\( \left\{ \begin{align} & rot\vec{F}=0 \\ & div\vec{F}=0 \\ \end{align} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4.12) \)
b) Tính chất: Hàm thế \( u(M) \) của trường điều hòa \( \vec{F}(M) \) là hàm điều hòa, nói cách khác hàm thế u(M) thỏa mãn phương trình Laplace: \( \Delta u=0 \) hay \( \frac{{{\partial }^{2}}u}{{{\partial }^{2}}{{x}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}u}{{{\partial }^{2}}{{y}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}u}{{{\partial }^{2}}{{z}^{2}}}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4.13) \)
Thật vậy, \( \vec{F}(M) \) là trường thế nên hàm thế u thỏa mãn \(\frac{\partial u}{\partial x}=P,\,\,\frac{\partial u}{\partial y}=Q,\,\,\frac{\partial u}{\partial z}=R\).
Mặt khác, \( \vec{F}(M) \) là trường ống nên \(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=0\).
Do đó: \( \frac{{{\partial }^{2}}u}{{{\partial }^{2}}{{x}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}u}{{{\partial }^{2}}{{y}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}u}{{{\partial }^{2}}{{z}^{2}}}=0 \).
Theo định nghĩa thì trường hấp dẫn và điện trường là các trường điều hòa trong miền V không chứa gốc tọa độ. Hàm thế của trường đó có dạng \( \frac{{{C}_{1}}}{r}+{{C}_{2}} \), trong đó \( {{C}_{1}},{{C}_{2}} \) là các hằng số.
Các ví dụ sau sẽ chỉ ra các hàm điều hòa tổng quát hơn.
Ví dụ 3. Chứng minh hàm số: \( u(M)=\frac{{{C}_{1}}}{r}+{{C}_{2}},\,\,r=\sqrt{{{(x-{{x}_{0}})}^{2}}+{{(y-{{y}_{0}})}^{2}}+{{(z-{{z}_{0}})}^{2}}},\,\,{{C}_{1}},{{C}_{2}} \) là các hằng số tùy ý là hàm điều hòa trong mọi miền V không chứa điểm \( {{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}},{{z}_{0}}) \).
Hướng dẫn giải:
Ta chứng minh hàm \( u(M) \) thỏa mãn phương trình Laplace (4.13).
Thật vậy: \( \frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{{{C}_{1}}{{{{r}’}}_{x}}}{{{r}^{2}}}=-{{C}_{1}}\frac{x-{{x}_{0}}}{{{r}^{3}}} \)
\( \frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{x}^{2}}}=-{{C}_{1}}\frac{{{r}^{2}}-3{{(x-{{x}_{0}})}^{2}}}{{{r}^{5}}} \).
Tương tự: \(\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{y}^{2}}}=-{{C}_{1}}\frac{{{r}^{2}}-3{{(y-{{y}_{0}})}^{2}}}{{{r}^{5}}}\); \( \frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{z}^{2}}}=-{{C}_{1}}\frac{{{r}^{2}}-3{{(z-{{z}_{0}})}^{2}}}{{{r}^{5}}} \).
Do đó: \( \Delta u=-{{C}_{1}}\frac{3{{r}^{2}}-3\left[ {{(x-{{x}_{0}})}^{2}}+{{(y-{{y}_{0}})}^{2}}+{{(z-{{z}_{0}})}^{2}} \right]}{{{r}^{5}}}=0 \).
Tương tự kiểm tra thấy rằng hàm \( u(x,y)=\ln \frac{1}{r},\,\,r=\sqrt{{{(x-{{x}_{0}})}^{2}}+{{(y-{{y}_{0}})}^{2}}} \) là hàm điều hòa trong mọi miền phẳng D không chứa điểm \( {{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \), tức là hàm u đã cho thỏa mãn phương trình Laplace trong mặt phẳng: \( \Delta u=\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{x}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{y}^{2}}}=0 \).
Trong quá trình đăng tải bài viết lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, nên bạn đọc muốn xem đầy đủ các dạng bài tập giải chi tiết hãy vui lòng mua sách Giải bài tập Giải Tích 2!
