Bài Giảng Toán Cao Cấp
4.2. Các đặc trưng của trường vectơ
4.2.1. Đường dòng
Cho trường vectơ \( \vec{F}(M)=P(x,y,z)\vec{i}+Q(x,y,z)\vec{j}+R(x,y,z)\vec{k},\,\,(x,y,z)\in \Omega \). Đường cong \( C\subset \Omega \) gọi là đường dòng của trường vectơ \( \vec{F}(M) \) nếu tại mỗi điểm M trên đường cong C, tiếp tuyến của C tại đó có cùng phương với vectơ \( \vec{F}(M) \). Chẳng hạn các đường sức trong từ trường hoặc điện trường là các đường dòng. Nếu đường dòng có phương trình: \( \left\{ \begin{align} & x=x(t) \\ & y=y(t) \\ & z=z(t) \\ \end{align} \right. \) và P, Q, R là các thành phần của \( \vec{F} \) thì ta có hệ thức:
\( \frac{{x}'(t)}{P(x,y,z)}=\frac{{y}'(t)}{Q(x,y,z)}=\frac{{z}'(t)}{R(x,y,z)}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4.3) \)
Gọi (4.3) là hệ phương trình vi phân của họ đường dòng của trường vectơ \( \vec{F}(x,y,z) \).
Chẳng hạn một điện tích q đặt tại gốc tọa độ tạo ra một điện trường \( \vec{E} \), theo định luật Coulomb thì:
\( \vec{E}=\frac{q\cdot \vec{r}}{{{\left| {\vec{r}} \right|}^{3}}}=\left( \frac{qx}{{{({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}})}^{3/2}}},\frac{qy}{{{({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}})}^{3/2}}},\frac{qz}{{{({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}})}^{3/2}}} \right) \).
Khi đó hệ phương trình vi phân của họ đường dòng là: \( \frac{dx}{x}=\frac{dy}{y}=\frac{dz}{z} \).
Để giải hệ phương trình này, bạn đọc có thể xem trong các phần trước. Kết quả họ đường dòng (trong vật lý, thường gọi là các đường sức) cho bởi phương trình: \( x={{k}_{1}}t,\,\,y={{k}_{2}}t,\,\,z={{k}_{3}}t,\,\,\,{{k}_{1}},{{k}_{2}},{{k}_{3}} \) là hằng số tùy ý.
Đó là họ đường thẳng đi qua gốc tọa độ.
Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 2 - Calculus II Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán Cao Cấp gồm:
- Giải Tích 1, Giải Tích 2, Giải tích 3
- Đại Số Tuyến Tính, Xác Suất Thống Kê
- Sách Giải Bài Tập của bộ môn Toán Cao Cấp!
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
4.2.2. Thông lượng của trường vectơ
Trong mục 3.6.2 ta đã đưa ra định nghĩa thông lượng của trường vectơ \( \vec{F}(x,y,z) \) qua mặt cong định hướng S xác định theo công thức (3.35):
\( \Phi =\iint\limits_{S}{\vec{F}\cdot \vec{n}\cdot dS}=\iint\limits_{S}{Pdydz+Qdzdx+Rdxdy}=\iint\limits_{S}{\vec{F}\cdot d\vec{S}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4.4) \)
Trong đó \( \vec{n}=(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma ) \) là vectơ đơn vị của vectơ pháp tuyến của mặt S được định hướng P, Q, R là các thành phần của \( \vec{F} \).
4.2.3. Dive (Divergence, độ phân kì)
Ta gọi phân kì hay gọi tắt là dive của trường vectơ \( \vec{F}(x,y,z) \) tại điểm M(x,y,z) là đại lượng vô hướng, kí hiệu \( div\vec{F}(x,y,z) \), xác định theo công thức:
\( div\vec{F}(x,y,z)=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4.5) \)
Vậy một trường vectơ \( \vec{F} \ đã sinh ra một trường vô hướng \( div\vec{F} \).
Nếu miền \( V\subset \Omega \) có biên là S thì công thức Gauss- Ostrogradski (3.42) có dạng:
\( \iint\limits_{S}{\vec{F}\cdot \vec{n}\cdot dS}=\iiint\limits_{V}{div\vec{F}(x,y,z)dxdydz}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4.6) \)
Nghĩa là thông lượng của trường vectơ \( \vec{F} \) qua phía ngoài mặt S bao miền V bằng tổng độ phân kì tại tất cả các điểm trong miền V của trường vectơ. Theo ý nghĩa cơ học của tích phân bội ba, suy ra \( div\vec{F}(x,y,z) \) chính là mật độ thông lượng tại điểm M(x,y,z) của trường. Từ ý nghĩa vật lý của trường vận tốc ta thấy thông lượng của trường vận tốc qua mặt kín S ra phía ngoài là hiệu của lượng vật chất từ trong chảy ra và từ ngoài vào qua S (chẳng hạn lượng nước). Nếu thông lượng \( \Phi >0 \), từ ý nghĩa vật lý, cũng như từ tính chất của tích phân ta thấy trong miền V bao bởi S phải có điểm nguồn. Chính vì thế ta gọi M là điểm nguồn của trường nếu \( div\vec{F}(M)>0 \), ngược lại nếu \( div\vec{F}(M)<0 \) thì M là điểm hút.
Sách Giải Bài Tập Giải Tích 2
4.2.4. Hoàn lưu
Cho trường vectơ \( \vec{F}(x,y,z)=(P,Q,R) \) và một đường cong L trong trường vectơ. Ta gọi: \( C=\int\limits_{L}{Pdx+Qdy+Rdz}=\int\limits_{L}{\vec{F}d\vec{r}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4.7) \)
Là hoàn lưu hay lưu số của trường \( \vec{F}(x,y,z) \) theo đường cong L. Theo ý nghĩa cơ học của tích phân đường loại hai ta thấy nếu \( \vec{F}(x,y,z) \) là trường lực thì hoàn lưu của nó theo L là công do lực \( \vec{F}(x,y,z) \) sinh ra khi vật di chuyển dọc theo L.
4.2.5. Rota (Rotation, vectơ xoáy)
Cho trường vectơ \( \vec{F}(x,y,z)=(P,Q,R) \), vectơ xoáy của trường, kí hiệu là \( rot\vec{F} \), xác định theo công thức:
\( rot\vec{F}=\left( \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z} \right)\vec{i}+\left( \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x} \right)\vec{j}+\left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right)\vec{k}=\left| \begin{matrix} {\vec{i}} & {\vec{j}} & {\vec{k}} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ P & Q & R \\\end{matrix} \right|\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4.8) \)
Vậy một trường vectơ \( \vec{F} \) đã sinh ra một trường vectơ \( rot\vec{F}(x,y,z) \).
Giả sử có mặt cong S trong trường được định hướng và biên của nó là đường L trơn từng khúc. Khi đó công thức Stokes (3.39) có dạng:
\( \oint\limits_{L}{\vec{F}\cdot d\vec{r}}=\iint\limits_{S}{rot\vec{F}\cdot \vec{n}\cdot dS}=\iint\limits_{S}{rot\vec{F}\cdot d\vec{S}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4.9) \)
Nghĩa là hoàn lưu của trường vectơ \( \vec{F} \) dọc theo chu tuyến L của mặt cong S chính bằng thông lượng của vectơ xoáy qua mặt cong S của trường.
Từ ý nghĩa cơ học, ta thấy \( \int\limits_{L}{\vec{F}\cdot d\vec{r}} \) là công của trường lực \( \vec{F}(x,y,z) \) khi di chuyển dọc theo L. Nếu L là đường cong kín thì công sinh ra thường bằng không vì công sinh ra trên phần “thuận chiều” của đường cong L cân bằng với công sinh ra trên phần “ngược chiều”, nếu không có “xoáy” ( \( rot\vec{F}=0 \)). Do đó, từ chứng tỏ Stokes ta thấy hoàn lưu theo chu tuyến kín L đặc trưng cho tính xoáy của trường trên mặt S có chu tuyến L, nói cách khác là tính chất “xoáy” của trường theo chu tuyến đó. Do đó, nếu \( rot\vec{F}(M)\ne 0 \) ta nói rằng M là điểm xoáy của trường và \( rot\vec{F}(M)=0 \) ta nói rằng M là điểm không xoáy.
Trong quá trình đăng tải bài viết lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, nên bạn đọc muốn xem đầy đủ các dạng bài tập giải chi tiết hãy vui lòng mua sách Giải bài tập Giải Tích 2!
