Danh mục: Số phức – Đa thức và hàm hữu tỉ

Bài 1. Định nghĩa số phức và dạng đại số của số phức I. Định nghĩa số phức Mỗi cặp số thực có thứ tự $(a; b) forall a in mathbb{R}, forall b in mathbb{R}$ được gọi là một số phức nếu trên tập hợp các cặp đó quan hệ bằng nhau, phép cộng và phép nhân được đưa vào theo các định nghĩa sau đây:(I) Quan hệ bằng nhau ( ({{a}_{1}},{{b}_{1}})=({{a}_{2}},{{b}_{2}})Leftrightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}}begin{align} & {{a}_{1}}={{a}_{2}} \ & {{b}_{1}}={{b}_{2}}. \end{align} \end{array} right. )(II) Phép cộng$$(a_1, b_1) + (a_2, b_2) overset{def}{=} (a_1 + a_2, b_1 + b_2).$$(III) Phép nhân$$(a_1, b_1)(a_2, b_2) overset{def}{=} (a_1 a_2 - b_1 b_2, a_1 b_2 + a_2 b_1).$$Tập hợp số phức được ký hiệu là $mathbb{C}$. Phép cộng (II) và phép nhân (III) trong $mathbb{C}$ có tính chất giao hoán, kết hợp, liên hệ với nhau bởi luật phân bố và mọi phần tử $ne (0, 0)$ đều có phần tử nghịch đảo.Tập hợp $mathbb{C}$ lập thành một trường (gọi là trường số phức) với phần tử không là cặp $(0; 0)$ và phần tử đơn vị là cặp $(1; 0)$. Áp dụng quy tắc (III) ta có: $(0; 1)(0; 1) = (-1; 0)$. Nếu ký hiệu $i = (0; 1)$ thì$$i^2 = -1$$Đối với các cặp dạng đặc biệt $(a, 0)$, $forall a in mathbb{R}$ theo (II) và (III) ta có$$(a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0),$$$$(a, 0)(b, 0) = (ab, 0).$$Từ đó về mặt đại số các cặp dạng $(a, 0)$, $a in mathbb{R}$ không có gì khác biệt với số thực $mathbb{R}$: vì chúng được cộng và nhân như những số thực. Do vậy ta có thể đồng nhất các cặp dạng $(a; 0)$ với số thực $a$:$$(a; 0) equiv a quad forall a in mathbb{R}.$$Đặc biệt là $(0; 0) equiv 0; (1; 0) equiv 1$.Đối với số phức $z = (a, b)$:1$^{+}$ Số thực $a$ được gọi là phần thực $a = mathrm{Re}z$, số thực $b$ gọi là phần ảo và ký hiệu là $b = mathrm{Im}z$.2$^{+}$ Số phức $overline{z} = (a, -b)$ gọi là số phức liên hợp với số phức $z$. Nhận Dạy Kèm môn Đại Số Tuyến Tính - Linear Algebra Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,... Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7 Dạy kèm Toán Cao Cấp gồm: Giải Tích 1, Giải Tích 2, Giải tích 3 Đại Số Tuyến Tính, Xác Suất Thống Kê Toán dành kỹ thuật, Toán dành cho vật lý, Toán kinh tế Sách Giải Bài Tập của bộ môn Toán Cao Cấp! Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi! 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo) II. Dạng đại số của số phức Mọi số phức $z = (a; b) in mathbb{C}$ đều có thể viết dưới dạng$$z = a + ib. tag{1.1}$$Thật vậy, $z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (0, 1)(b, 0) = a + ib$Biểu thức (1.1) gọi là dạng đại số của số phức $z = (a, b)$. Từ (1.1) và định nghĩa số phức liên hợp ta có $overline{z} = a - ib$.Dưới dạng đại số các phép tính trên tập hợp số phức được thực hiện theo các quy tắc sau.Giả sử $z_1 = a_1 + ib_1, z_2 = a_2 + ib_2$. Khi đó(I) Phép cộng: $quad z_1 pm z_2 = (a_1 pm a_2) + i(b_1 pm b_2).$(II) Phép nhân: $quad z_1 z_2 = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + i(a_1 b_2 + a_2 b_1).$(III) Phép chia:$$frac{z_2}{z_1} = frac{a_1 a_2 + b_1 b_2}{a_1^2 + b_1^2} + ifrac{a_1 b_2 - a_2 b_1}{a_1^2 + b_1^2}.$$Trong quá trình đăng tải bài giảng lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Đại Số Tuyến Tính để được xem lời giải chi tiết của các dạng bài tập, xem nội dung đầy đủ và nhận được phiên bản cập nhật mới nhất của sách! Sách Giải Bài Tập Giải Tích 1 Đặt Mua Ngay III. Ví dụ Ví dụ 1.$(1)$ Tính $i^n$. Từ đó chứng minh rằnga) $quad i^n + i^{n+1} + i^{n+2} + i^{n+3} = 0;$b) $quad i cdot i^2 ldots i^{99} cdot i^{100} = -1.$$(2)$ Tìm số nguyên $n$ nếu:a) $quad (1 + i)^n = (1 - i)^n;$b) $quad left(frac{1 + i}{sqrt{2}}right)^n + left(frac{1 - i}{sqrt{2}}right)^n = 0.$Hướng dẫn giải:$(1)$ Ta có $i^0 = 1, i^1 = i, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1, i^5 = i$ và giá trị lũy thừa bắt đầu lặp lại. Ta khái quát hóa.Giả sử $n in mathbb{Z}$ và $n = 4k + r, r in mathbb{Z}, 0 le r le 3$. Khi đó$$i^n = i^{4k+r} = i^{4k} cdot i^r = (i^4)^k i^r = i^r.$$(vì $i^4 = 1$). Từ đó, theo kết quả trên ta có$$i^n =begin{cases}1 & text{nếu } n = 4k, \i & text{nếu } n = 4k + 1, \-1 & text{nếu } n = 4k + 2, \-i & text{nếu } n = 4k + 3.end{cases}tag{1.2}$$Từ (1.2) dễ dàng suy ra a) và b).$(2)$ a) Từ hệ thức $(1 + i)^n = (1 - i)^n$ suy ra$left(frac{1 + i}{1 - i}right)^n = 1.$Nhưng $frac{1 + i}{1 - i} = i$ nên $left(frac{1 + i}{1 - i}right)^n = i^n = 1 Rightarrow n = 4k, k in mathbb{Z}.$b) Từ đẳng thức$$left(frac{1 + i}{sqrt{2}}right)^n + left(frac{1 - i}{sqrt{2}}right)^n = 0$$suy rằng$$left(frac{1 + i}{1 - i}right)^n = -1$$và do đó $i^n = -1 Rightarrow n = 4k + 2, k in mathbb{Z}.$Trong quá trình đăng tải bài giảng lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Đại số tuyến tính để được xem lời giải chi tiết của các dạng bài tập, xem nội dung đầy đủ và nhận được phiên bản cập nhật mới nhất của sách!Ví dụ 2. Chứng minh rằng nếu $n$ là bội của $3$ thì ( left(frac{-1 + isqrt{3}}{2}right)^n + left(frac{-1 - isqrt{3}}{2}right)^n = 2 )và nếu $n$ không chia hết cho $3$ thì$$left(frac{-1 + isqrt{3}}{2}right)^n + left(frac{-1 - isqrt{3}}{2}right)^n = -1.$$Hướng dẫn giải:$(1)$ Nếu $n = 3m$ thì ( S = left[left(frac{-1 + isqrt{3}}{2}right)^3right]^m + left[left(frac{-1 - isqrt{3}}{2}right)^3right]^m ) ( = left(frac{-1 + 3isqrt{3} + 9 - 3isqrt{3}}{8}right)^m + left(frac{-1 - 3isqrt{3} + 9 + 3isqrt{3}}{8}right)^m ) ( = 1^m + 1^m = 2.)$(2)$ Nếu $n = 3m + 1$ thì ( S = left[left(frac{-1 + isqrt{3}}{2}right)^3right]^m left(frac{-1 + isqrt{3}}{2}right) + left[left(frac{-1 - isqrt{3}}{2}right)^3right]^m left(frac{-1 - isqrt{3}}{2}right) ) ( = frac{-1 + isqrt{3}}{2} + frac{-1 - isqrt{3}}{2} = -1 ).Tương tự nếu $n = 3m + 2$ ta cũng có $S = -1$. $blacktriangle$Ví dụ 3.Tính biểu thức ( sigma = left(1 + frac{1 + i}{2}right)left[1 + left(frac{1 + i}{2}right)^2right]left[1 + left(frac{1 + i}{2}right)^{2^2}right]cdots left[1 + left(frac{1 + i}{2}right)^{2^n}right]. )Hướng dẫn giải:Nhân và chia biểu thức đã cho với $1 - frac{1 + i}{2}$ ta có ( sigma = frac{1 - left[left(frac{1 + i}{2}right)^{2^n}right]^2}{1 - frac{1 + i}{2}}= frac{1 - left[frac{1 + i}{2}right]^{2^{n+1}}}{1 - frac{1 + i}{2}}. )Ta cần tính ( left(frac{1 + i}{2}right)^{2^{n+1}}= left[left(frac{1 + i}{2}right)^2right]^{2^n}= left(frac{i}{2}right)^{2^n}= frac{i^{2^n}}{2^{2^n}}= frac{1}{2^{2^n}}. )Do đó ( sigma= frac{1 - frac{1}{2^{2^n}}}{1 - frac{1 + i}{2}}= frac{2left(1 - frac{1}{2^{2^n}}right)}{1 - i} times frac{1 + i}{1 + i} ) ( = left(1 - frac{1}{2^{2^n}}right)(1 + i). quad blacktriangle )Ví dụ 4. Biểu diễn số phức $sqrt{4 - 3i}$ dưới dạng đại số.Hướng dẫn giải:Theo định nghĩa ta cần tìm số phức $w$ sao cho $w^2 = 4 - 3i$.Nếu $w = a + bi, a, b in mathbb{R}$ thì( 4 - 3i = (a + bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi. )Từ đó: ( begin{cases}a^2 - b^2 = 4, \2ab = -3.end{cases} )Từ (1.4) ta có $b = -dfrac{3}{2a}$. Thế vào (1.3) ta thu được( 4u^2 - 16u - 9 = 0,quad u = a^2 )( Leftrightarrowbegin{cases}u_1 = dfrac{8 + sqrt{100}}{4} = dfrac{8 + 10}{4} = dfrac{18}{4} = dfrac{9}{2}, \u_2 = dfrac{8 - sqrt{100}}{4} = dfrac{8 - 10}{4} = -dfrac{1}{2}.end{cases} )Vì $a in mathbb{R}$ nên $u ge 0 Rightarrow u = dfrac{9}{2}$ và do vậy( a = pm frac{3}{sqrt{2}} Rightarrow b = mp frac{1}{sqrt{2}}. )Từ đó ta thu được( w_{1,2} = pm left(frac{3}{sqrt{2}} - frac{1}{sqrt{2}}iright). quad blacktriangle )Ví dụ 5. Biểu diễn số phức ( z = frac{sqrt{5 + 12i} - sqrt{5 - 12i}}{sqrt{5 + 12i} + sqrt{5 - 12i}} )với điều kiện là các phần thực của $sqrt{5 + 12i}$ và $sqrt{5 - 12i}$ đều âm. Hướng dẫn giải:Áp dụng phương pháp giải trong ví dụ 4 ta có ( sqrt{5 + 12i} = x + iy Rightarrow 5 + 12i = x^2 - y^2 - 2xyi )( Leftrightarrowbegin{cases}x^2 - y^2 = 5, \2xy = 12.end{cases} )Hệ này có hai nghiệm là $(3; 2)$ và $(-3; -2)$. Theo điều kiện, phần thực của $sqrt{5 + 12i}$ âm nên ta có $sqrt{5 + 12i} = -3 - 2i$. Tương tự ta tìm được $sqrt{5 - 12i} = -3 + 2i$. Như vậy ( z = frac{-3 - 2i - (-3 + 2i)}{-3 - 2i + (-3 + 2i)} = frac{2}{3}i. quad blacktriangle )Ví dụ 6. Giả sử $z = a + ib, z ne pm 1$. Chứng minh rằng $w = dfrac{z - 1}{z + 1}$ là số thuần ảo khi và chỉ khi $a^2 + b^2 = 1$.Hướng dẫn giải:Ta có: ( w = frac{(a - 1) + ib}{(a + 1) + ib}= frac{a^2 + b^2 - 1}{(a + 1)^2 + b^2} + i,frac{2b}{(a + 1)^2 + b^2}. )Từ đó suy rằng $w$ thuần ảo khi và chỉ khi ( frac{a^2 + b^2 - 1}{(a + 1)^2 + b^2} = 0 Longleftrightarrow a^2 + b^2 = 1. quad blacktriangle ) IV. Bài tập luyện tập (Có lời giải chi tiết) Câu 1. Tínha) $dfrac{(1+i)^8 - 1}{(1-i)^8 + 1}$. ( quad ) (ĐS. $dfrac{15}{17}$)b) $dfrac{(1+2i)^3 + (1-2i)^3}{(2-i)^2 - (2+i)^2}$. ( quad ) (ĐS. $-dfrac{11}{4}i$)c) $dfrac{(3-4i)(2-i)}{2+i} - dfrac{(3+4i)(2+i)}{2-i}$. ( quad ) (ĐS. $-dfrac{14}{5}$)d) $left(1 + dfrac{1-i}{sqrt{2}}right)left[1 + left(dfrac{1-i}{sqrt{2}}right)^2right]left[1 + left(dfrac{1-i}{sqrt{2}}right)^{2^2}right]cdotsleft[1 + left(dfrac{1-i}{sqrt{2}}right)^{2^n}right]$.(ĐS. $0$)Câu 2. Chứng minh rằnga) $overline{z_1 + z_2} = overline{z_1} + overline{z_2}$;b) $overline{z_1 z_2} = overline{z_1}cdot overline{z_2}$;c) $overline{left(dfrac{z_1}{z_2}right)} = dfrac{overline{z_1}}{overline{z_2}}$;d) $overline{z^n} = (overline{z})^n$;e) $z + overline{z} = 2operatorname{Re}z$;g) $z - overline{z} = 2operatorname{Im}z$.Câu 3. Với giá trị thực nào của $x$ và $y$ thì các cặp số sau đây là các cặp số phức liên hợp:a) $y^2 - 2y + xy - x + y + (x+y)i$ và $-y^2 + 2y + 11 - 4i$;b) $x + y^2 + 1 + 4i$ và $ixy^2 + iy^2 - 3$?(ĐS. a) $x_1 = 1, y_1 = 3; ; x_2 = 9, y_2 = 5;$b) $x_{1,2} = -5, ; y_{1,2} = pm 5$)Câu 4. Chứng minh rằng $z_1$ và $z_2$ là những số phức liên hợp khi và chỉ khi $z_1 + z_2$ và $z_1 z_2$ là những số thực.Câu 5. Tínha) $sqrt{-5 - 12i}$. ( quad ) (ĐS. $pm(2 - 3i)$)b) $sqrt{24 + 10i}$. ( quad ) (ĐS. $pm(5 + i)$)c) $sqrt{24 - 10i}$. ( quad ) (ĐS. $pm(5 - i)$)d) $sqrt{1 + isqrt{3}} + sqrt{1 - isqrt{3}}$.(ĐS. $pmsqrt{6}, pm isqrt{2}$)Câu 6. Chứng minh rằnga) $1 - C_8^2 + C_8^4 - C_8^6 + C_8^8 = 16$;b) $1 - C_9^2 + C_9^4 - C_9^6 + C_9^8 = 16$;c) $C_9^1 - C_9^3 + C_9^5 - C_9^7 + C_9^9 = 16$.Chú dẫn. Áp dụng công thức nhị thức Newton đối với $(1+i)^8$ và $(1+i)^9$.Bạn đọc hãy nên mua sách Giải bài tập Đại Số Tuyến Tính để được xem đầy đủ lời giải chi tiết các bài tập trên và xem phiên bản cập nhật mới nhất của sách! Các bài viết cùng chủ đề! [pt_view id="0155682xni"] Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo) Các Sách Giải Bài Tập - Đề Thi do Trung tâm phát hành! [pt_view id="d59957cfx4"]