Bài Giảng Toán Cao Cấp
3.4. Định lí bốn mệnh đề tương đương
Xuất phát từ công thức Green (3.20), sau đây ta sẽ nhận được các điều kiện để biểu thức \( P(x,y)dx+Q(x,y)dy \) là vi phân toàn phần của hàm \( u(x,y) \) nào đó; để tích phân đường của một biểu thức không phụ thuộc vào dạng đường cong lấy tích phân. Trong các trường hợp này, miền liên thông D phải là đơn liên (biên có duy nhất một đường cong kín).
Định lí 3.4: Giả sử các hàm \( P(x,y),\,\,Q(x,y) \) liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một của chúng trong miền đơn liên D. Khi đó bốn mệnh đề sau đây tương đương với nhau:
(1) \( \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x},\,\,\forall (x,y)\in D \).
(2) \( \oint\limits_{L}{Pdx+Qdy}=0 \), L là đường cong kín bất kỳ nằm trong miền D.
(3) \( \int\limits_{\overset\frown{AB}}{Pdx+Qdy} \), trong đó cung \( \overset\frown{AB} \) nằm trong miền D, chỉ phụ thuộc vào 2 điểm A, B mà không phụ thuộc dạng cung \( \overset\frown{AB} \).
(4) Biểu thức \( Pdx+Qdy \) là vi phân toàn phần của hàm \( u(x,y) \) nào đó trên miền D.
Chứng minh: Định lí được chứng minh theo sơ đồ sau: \( (1)\Rightarrow (2)\Rightarrow (3)\Rightarrow (4)\Rightarrow (1) \)
+ \( (1)\Rightarrow (2) \): Gọi D1 là miền giới hạn bởi L, \( L\subset D \) suy ra \( {{D}_{1}}\subset D \). Áp dụng công thức Green (3.20) cho miền D1 ta có:
\( \oint\limits_{{{L}^{+}}}{Pdx+Qdy}=\iint\limits_{{{D}_{1}}}{\left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right)dxdy}=\iint\limits_{{{D}_{1}}}{0dxdy}=0 \).
Suy ra: \( \oint\limits_{L}{Pdx+Qdy}=0,\,\,\forall L\subset D \).
+ \( (2)\Rightarrow (3) \): Lấy \( A\in D,\,\,B\in D \) và \( \overset\frown{AmB}\subset D,\,\,\overset\frown{AnB}\subset D \) (dạng của các cung là tùy ý H.3.9)
Suy ra đường cong kín \( \overset\frown{AmBnA}\subset D \). Theo (2) ta có: \( \oint\limits_{\overset\frown{AmBnA}}{Pdx+Qdy}=0 \) hay
\( \int\limits_{\overset\frown{AmB}}{Pdx+Qdy}+\int\limits_{\overset\frown{BnA}}{Pdx+Qdy}=0 \).
Suy ra: \( \int\limits_{\overset\frown{AmB}}{Pdx+Qdy}=\int\limits_{\overset\frown{AnB}}{Pdx+Qdy} \).
Chứng tỏ các tích phân không phụ thuộc vào dạng cung \( \overset\frown{AB} \).
+ \( (3)\Rightarrow (4) \): Ta sẽ xây dựng hàm \( u(x,y) \) dưới đây sao cho: \( du(x,y)=Pdx+Qdy \).
Lấy \( A({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \) cố định thuộc D và điểm \( M(x,y) \) chạy trong miền D (H.3.10).
Xét hàm số: \( u(x,y)=\int\limits_{\overset\frown{AM}}{Pdx+Qdy}+C \) với \( \overset\frown{AM}\subset D,\,\,C \) là hằng số tùy ý. (3.22)
Rõ ràng hàm số này phụ thuộc vào điểm \( M(x,y) \) chứ không phụ thuộc dạng cung \( \overset\frown{AM} \) và \( u({{x}_{0}},{{y}_{0}})=C \). Ta sẽ chứng minh \( \frac{\partial u}{\partial x}=P(x,y) \). Thật vậy, theo định nghĩa đạo hàm riêng tại (x,y) ta có:
\(\frac{\partial u}{\partial x}=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{u(x+h,y)-u(x,y)}{h}=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{h}\left( \int\limits_{\overset\frown{A{{M}_{1}}}}{Pdx+Qdy}-\int\limits_{\overset\frown{AM}}{Pdx+Qdy} \right)\), trong đó M1 và M cùng có tung độ là y, còn hoành độ của M1 là \( x+h \) với h đủ bé để \( {{M}_{1}}\in D \).
Theo (3) có thể lấy \( \overset\frown{A{{M}_{1}}} \) gồm cung \( \overset\frown{AM} \) và đoạn thẳng nằm ngang MM1.
Vậy: \( \frac{\partial u}{\partial x}=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{h}\int\limits_{\overset\frown{M{{M}_{1}}}}{Pdx+Qdy} \).
Đoạn MM1 vuông góc với trục Oy và hướng đi M(x,y) đến \( {{M}_{1}}(x+h,y) \), suy ra \( dy=0 \).
Vậy: \( \frac{\partial u}{\partial x}=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{h}\int\limits_{x}^{x+h}{P(x,y)dx} \).
Theo định lí về giá trị trung bình của tích phân xác định thì: \( \int\limits_{x}^{x+h}{P(x,y)dx}=P({{x}^{*}},y)h \), trong đó: \( {{x}^{\bullet }}=x+\theta \cdot h,\,\,0<\theta <1 \), từ đó ta có: \( \frac{\partial u}{\partial x}=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,P({{x}^{*}},y) \).
Do tính liên tục của hàm P(x,y) nên \( \frac{\partial u}{\partial x}=P(x,y) \).
Tương tự ta chứng minh được \( \frac{\partial u}{\partial y}=Q(x,y) \). Vậy tồn tại hàm u(x,y) cho bởi (3.22) để có
\( du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy \).
+ \( (4)\Rightarrow (1):\exists u(x,y) \) để \( du=Pdx+Qdy \) hay \( \frac{\partial u}{\partial x}=P,\,\,\frac{\partial u}{\partial y}=Q \). Suy ra: \( \frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial x\partial y}=\frac{\partial P}{\partial y},\,\,\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial y\partial x}=\frac{\partial Q}{\partial x} \).
Do các đạo hàm riêng của P, Q liên tục trên miền D nên các đạo hàm hỗn hợp \( \frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial x\partial y} \) và \( \frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial y\partial x} \) cũng liên tục trên D. Theo định lí Schwarz, ta có \( \frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial x\partial y}=\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial y\partial x} \) hay là: \( \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x},\,\,\forall (x,y)\in D \).
Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 2 - Calculus II Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán Cao Cấp gồm:
- Giải Tích 1, Giải Tích 2, Giải tích 3
- Đại Số Tuyến Tính, Xác Suất Thống Kê
- Sách Giải Bài Tập của bộ môn Toán Cao Cấp!
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
Hệ quả 1: Nếu \( du(x,y)=Pdx+Qdy \) trong miền D thì: \( \int\limits_{\overset\frown{AB}}{Pdx+Qdy}=u(B)-u(A)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3.23) \)
Chứng minh: \( \int\limits_{\overset\frown{AB}}{Pdx+Qdy}=\int\limits_{\overset\frown{AB}}{du(x,y)} \)
Giả sử \( \overset\frown{AB} \) cho bởi phương trình \( y=y(x) \) và \( A({{x}_{A}},{{y}_{A}}),\,\,B({{x}_{B}},{{y}_{B}}) \) rõ ràng \( {{y}_{A}}=y({{x}_{A}}),\,\,{{y}_{B}}=y({{x}_{B}}) \).
Chuyển tích phân đường về tích phân xác định theo công thức (3.18), ta có:
\( \int\limits_{\overset\frown{AB}}{du(x,y)}=\int\limits_{{{x}_{A}}}^{{{x}_{B}}}{du(x,y(x))}=\left. u(x,y(x)) \right|_{{{x}_{A}}}^{{{x}_{B}}}=u(B)-u(A) \).
Hệ quả 2: Nếu \( Pdx+Qdy \) là vi phân toàn phần của hàm \( u(x,y) \) trên toàn mặt phẳng \( {{\mathbb{R}}^{2}} \) thì hàm \( u(x,y) \) cho bởi công thức:
\( u(x,y)=\int\limits_{{{x}_{0}}}^{x}{P(x,y)dx}+\int\limits_{{{y}_{0}}}^{y}{Q({{x}_{0}},y)dy}+C\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3.24) \) hoặc \( u(x,y)=\int\limits_{{{x}_{0}}}^{x}{P(x,{{y}_{0}})dx}+\int\limits_{{{y}_{0}}}^{y}{Q(x,y)dy}+C\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3.25) \)
Trong đó \( A({{x}_{0}},{{y}_{0}})\in {{\mathbb{R}}^{2}},\,\,M(x,y)\in {{\mathbb{R}}^{2}} \)
Chứng minh: Lập hàm số \( u(x,y) \) theo công thức (3.22). Vì tích phân không phụ thuộc dạng \( \overset\frown{AM} \) vì thế có thể chọn \( \overset\frown{AM} \) là đường gấp khúc ANM hoặc ALM (H.3.11).
Đoạn AL song song với trục Oy nên dọc theo nó \( dx=0 \).
Đoạn LM song song với trục Ox nên dọc theo nó \( dy=0 \).
\(u(x,y)=\int\limits_{\overset\frown{AM}}{Pdx+Qdy}+C=\int\limits_{\overset\frown{AL}}{Pdx+Qdy}+C+\int\limits_{\overset\frown{LM}}{Pdx+Qdy}+C=\int\limits_{\overset\frown{AL}}{Q(x,y)dy}\int\limits_{\overset\frown{LM}}{P(x,y)dy}+C\)
Áp dụng công thức (3.18) có: \( u(x,y)=\int\limits_{{{y}_{0}}}^{y}{Q({{x}_{0}},y)dy}+\int\limits_{{{x}_{0}}}^{x}{P(x,y)dx}+C \).
Tương tự, lấy tích phân theo đường ANM sẽ nhận được công thức (3.25).
Chú ý:
(a) Các hàm u(x,y) nếu tồn tại sẽ sai khác nhau hằng số cộng C.
(b) Thông thường lấy \( ({{x}_{0}},{{y}_{0}})=(0,0) \) thì tính tích phân (3.24) hoặc (3.25) sẽ đợn giản hơn.
Sách Giải Bài Tập Giải Tích 2
Ví dụ 1. Chứng minh biểu thức: \( ({{x}^{2}}-2x{{y}^{2}}+3)dx+({{y}^{2}}-2{{x}^{2}}y+3)dy \) là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) trên \( {{\mathbb{R}}^{2}} \) và hãy tìm hàm đó.
Hướng dẫn giải:
Đặt: \( P(x,y)={{x}^{2}}-2x{{y}^{2}}+3\Rightarrow \frac{\partial P}{\partial y}=-4xy \).
\( Q(x,y)={{y}^{2}}-2{{x}^{2}}y+3\Rightarrow \frac{\partial Q}{\partial x}=-4xy=\frac{\partial P}{\partial y},\,\,\forall (x,y)\in {{\mathbb{R}}^{2}} \).
Vậy có hàm số u(x,y) để \( du=Pdx+Qdy \).
Ta có:
\( \begin{align} & u(x,y)=\int\limits_{0}^{x}{P(x,y)dx}+\int\limits_{0}^{y}{Q(0,y)dy}+C=\int\limits_{0}^{x}{({{x}^{2}}-2x{{y}^{2}}+3)dx}+\int\limits_{0}^{y}{({{y}^{2}}+3)dy}+C \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{1}{3}({{x}^{3}}+{{y}^{3}})-{{x}^{2}}{{y}^{2}}+3(x+y)+C \\ \end{align} \)
Ví dụ 2. Tính \( I=\int\limits_{\overset\frown{AB}}{\frac{xdy-ydx}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}},\,\,A(1;1),\,\,B(2;4) \).
a) Cung \( \overset\frown{AB} \) cho bởi phương trình: \( y={{x}^{2}},\,\,1\le x\le 2 \),
b) Cung \( \overset\frown{AB} \) bất kỳ tạo với đoạn AB thành đường cong kín không bao gốc tọa độ.
c) Cung \( \overset\frown{AB} \) bất kì tạo với đoạn AB thành đường cong kín bao gốc tọa độ.
Hướng dẫn giải:
Đặt:
\( P=-\frac{y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\Rightarrow \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{{{y}^{2}}-{{x}^{2}}}{{{({{x}^{2}}+{{y}^{2}})}^{2}}} \)
\( Q=\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\Rightarrow \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{{{y}^{2}}-{{x}^{2}}}{{{({{x}^{2}}+{{y}^{2}})}^{2}}}=\frac{\partial P}{\partial y},\,\,\forall (x,y)\ne (0,0) \)
a) \( y={{x}^{2}}\Rightarrow dy=2xdx \), cung \( \overset\frown{AnB} \).
\( I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{2{{x}^{2}}-{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{x}^{4}}}dx}=\int\limits_{1}^{2}{\frac{2}{1+{{x}^{2}}}dx}=\left. \arctan x \right|_{1}^{2}=\arctan 2-\frac{\pi }{4} \).
b) Vì các hàm P, Q thỏa mãn định lí 4 mệnh đề tương đương trên bất kì một miền đợn liên không chứa gốc tọa độ, do đó tích phân đã cho không phụ thuộc vào dạng cung \( \overset\frown{AB} \), sao cho cung đó tạo với đoạn AB một đường cong kín không bao gốc tọa độ (H.3.12). Vậy: \( I=\arctan 2-\frac{\pi }{4} \).
c) Khi cung \( \overset\frown{AB} \) tạo đoạn AB một đường cong kín bao gốc tọa độ thì không thể áp dụng định lí 4 mệnh đề tương đương được nữa do P, Q không liên tục trong miền đơn liên chứa gốc tọa độ. Trước hết, từ công thức Green suy ra: Tích phân không phụ thuộc dạng cung \( \overset\frown{AB} \), miễn là cung đó tạo với đoạn AB thành đường cong kín bao gốc tọa độ. Bây giờ ta vẽ đường tròn C tâm gốc tọa độ, bán kính đủ bé r. Xét miền liên thông nhị liên D có biên là C và đường cong kín. Theo công thức Green ta có:
\( 0=\iint\limits_{D}{\left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right)dxdy}=\int\limits_{\overset\frown{AnB}}{Pdx+Qdy}=\int\limits_{\overset\frown{BmA}}{Pdx+Qdy}+\oint\limits_{{{C}^{-}}}{Pdx+Qdy} \)
Suy ra: \( \oint\limits_{{{C}^{+}}}{Pdx+Qdy}=\arctan 2-\frac{\pi }{4}-\int\limits_{\overset\frown{AmB}}{Pdx+Qdy} \)
C cho bởi phương trình tham số: \( \left\{ \begin{align} & x=r\cos \varphi \\ & y=r\sin \varphi \\ \end{align} \right.,\,\,0\le \varphi \le 2\pi \) .
\( \oint\limits_{{{C}^{+}}}{Pdx+Qdy}=\int\limits_{0}^{2\pi }{\frac{{{r}^{2}}{{\cos }^{2}}\varphi +{{r}^{2}}{{\sin }^{2}}\varphi }{{{r}^{2}}}d\varphi }=2\pi \) .
Vậy \( I=\int\limits_{\overset\frown{AmB}}{Pdx+Qdy}=\arctan 2-\frac{9\pi }{4} \).
Trong quá trình đăng tải bài viết lên website không thể tránh khỏi việc sai sót, nên bạn đọc muốn xem đầy đủ các dạng bài tập giải chi tiết hãy vui lòng mua sách Giải bài tập Giải Tích 2!
