Bài Giảng Toán Cao Cấp

Chứng minh:

(a) Trước hết xét miền D đơn liên và đơn giản theo nghĩa nó được mô tả bởi hệ bất phương trình: (Xem H.3.5)

 \( \left\{ \begin{align}  & a\le x\le b \\  & {{y}_{1}}(x)\le y\le {{y}_{2}}(x) \\ \end{align} \right. \) hoặc  \( \left\{ \begin{align}  & c\le y\le d \\  & {{x}_{1}}(y)\le x\le {{x}_{2}}(y) \\ \end{align} \right. \)

\(L=\overset\frown{AB}\cup \overset\frown{BC}\cup \overset\frown{CA}\)

\(\overset\frown{CA}\) có phương trình:  \( y={{y}_{1}}(x),\,\,a\le x\le b \)

 \( \overset\frown{BC} \) có phương trình  \( x=b,\,\,{{y}_{1}}(b)\le y\le {{y}_{2}}(b) \)

 \( \overset\frown{AB} \) có phương trình  \( y={{y}_{2}}(x),\,\,a\le x\le b \)

Theo công thức tính tích phân kép ta có:

 \( \iint\limits_{D}{\frac{\partial P}{\partial y}dxdy}=\int\limits_{a}^{b}{dx}\int\limits_{{{y}_{1}}(x)}^{{{y}_{2}}(x)}{\frac{\partial P}{\partial y}dy}=\int\limits_{a}^{b}{\left. P(x,y) \right|_{{{y}_{1}}(x)}^{{{y}_{2}}(x)}dx}=\int\limits_{a}^{b}{P(x,{{y}_{2}}(x))dx}-\int\limits_{a}^{b}{P(x,{{y}_{1}}(x))dx} \).

Theo công thức tính tích phân đường loại hai (3.18) và chú ý (a), ta có:

 \( \int\limits_{a}^{b}{P(x,{{y}_{2}}(x))dx}=\int\limits_{\overset\frown{AB}}{P(x,y)dx},\,\,\int\limits_{a}^{b}{P(x,{{y}_{1}}(x))dx}=\int\limits_{\overset\frown{AC}}{P(x,y)dx} \),

suy ra  \( \iint\limits_{D}{\frac{\partial P}{\partial y}dxdy}=\int\limits_{\overset\frown{AB}}{P(x,y)dx}+\int\limits_{\overset\frown{CA}}{P(x,y)dx} \).

Mặt khác:  \( \int\limits_{\overset\frown{BC}}{P(x,y)dx}=0 \) vì  \( \overset\frown{BC} \) có phương trình x=b nên dx=0.

Vậy  \( \iint\limits_{D}{\frac{\partial P}{\partial y}dxdy}=\int\limits_{\overset\frown{AB}}{P(x,y)dx}+\int\limits_{\overset\frown{BC}}{P(x,y)dx}+\int\limits_{\overset\frown{AC}}{P(x,y)dx}=\oint\limits_{L}{P(x,y)dx} \).

Tượng tự, ta có:  \( \iint\limits_{D}{\frac{\partial Q}{\partial x}dxdy}=\oint\limits_{L}{Q(x,y)dy} \).

Từ các kết quả này suy ra công thức Green (3.20)

(b) Xét D là miền đơn liên bất kỳ (H.3.6). Ta luôn có thể phân hoạch miền D thành hữu hạn các miền đơn giản, chẳng hạn có thể chia D thành 3 miền có chung biên là đoạn AB và BC. Theo tính chất của tích phân bội hai và kết quả đã chứng minh phần trên, ta có:

 \( \iint\limits_{D}{\left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right)dxdy}=\iint\limits_{{{D}_{1}}}{{}}+\iint\limits_{{{D}_{2}}}{{}}+\iint\limits_{{{D}_{3}}}{{}} \)

 \( \iint\limits_{{{D}_{1}}}{\left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right)dxdy}=\int\limits_{\overset\frown{AB}}{Pdx+Qdy}+\int\limits_{\overset\frown{BC}}{Pdx+Qdy}+\int\limits_{\overset\frown{CmA}}{Pdx+Qdy} \)

 \( \iint\limits_{{{D}_{2}}}{\left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right)dxdy}=\int\limits_{\overset\frown{CB}}{Pdx+Qdy}+\int\limits_{\overset\frown{BpC}}{Pdx+Qdy} \)

 \( \iint\limits_{{{D}_{3}}}{\left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right)dxdy}=\int\limits_{\overset\frown{BA}}{Pdx+Qdy}+\int\limits_{\overset\frown{AnB}}{Pdx+Qdy} \).

Cộng các vế với các hệ thức trên và để ý đến chú ý (a) của tích phân đường loại hai, ta nhận được công thức Green (3.20).

(c) Trường hợp D là miền đa liên, chẳng hạn D là miền nhị liên (H.2.7), biên L gồm hai đường L₁ và L₂ rời nhau. Ta có thể chia miền D thành 4 miền nhỏ. Áp dụng công thức Green cho cả 4 miền và sử dụng chú ý (a), ta cũng nhận được công thức (3.20). Trong trường hợp này cần lưu ý: Tích phân dọc theo L₁ có hướng ngược chiều kim đồng hồ, còn tích phân dọc theo L₂ có hướng thuận chiều kim đồng hồ. Như vậy tích phân  \( \oint\limits_{{{L}^{+}}}{Pdx+Qdy} \) đúng là lấy theo hướng dương của biên L như đã quy ước ở chú ý (d).

Chú ý: Công thức Green (3.20) cho ta công thức tính diện tích miền phẳng D nhờ vào tích phân đường loại hai như sau:

Lấy trong (3.20) các hàm  \( P(x,y)=-y \) và  \( Q(x,y)=x \) thì  \( \frac{\partial P}{\partial y}=-1,\,\,\frac{\partial Q}{\partial x}=1 \).

Suy ra:  \( S=\frac{1}{2}\oint\limits_{{{L}^{+}}}{xdy-ydx} \) trong đó S là diện tích miền D.           (3.21)