Hệ tọa độ cong trực giao
4.4. Hệ tọa độ cong trực giao 4.4.1. Định nghĩa Mỗi một điểm M trong không gian thực được xác định bởi một bộ 3 số sắp thứ tự ( ({{u}_{1}},{{u}_{2}},{{u}_{3}}) ) và ngược lại, được kí hiệu ( M({{u}_{1}},{{u}_{2}},{{u}_{3}}) ). Các số ( {{u}_{1}},{{u}_{2}},{{u}_{3}} ) gọi chung là tọa độ cong của điểm M.…
Một số trường đặc biệt
Chương 4. Lý thuyết trường 4.3.1. Trường thế a) Định nghĩa: Trường vectơ ( vec{F}(M) ) gọi là trường thế nếu tồn tại một trường vô hướng u(M) sao cho: ( vec{F}(M)=gradu(M),,,forall Min V,,,,,,,,,,,,,(4.10) ) Khi đó hàm u(M) được gọi là hàm thế hay hàm thế vị của trường ( vec{F}(M) ), còn (…
Các đặc trưng của trường vectơ
4.2. Các đặc trưng của trường vectơ 4.2.1. Đường dòng Cho trường vectơ ( vec{F}(M)=P(x,y,z)vec{i}+Q(x,y,z)vec{j}+R(x,y,z)vec{k},,,(x,y,z)in Omega ). Đường cong ( Csubset Omega ) gọi là đường dòng của trường vectơ ( vec{F}(M) ) nếu tại mỗi điểm M trên đường cong C, tiếp tuyến của C tại đó có cùng phương với vectơ ( vec{F}(M)…
Các đặc trưng của trường vô hướng
4.1. Các đặc trưng của trường vô hướng Giới thiệu Trong vật lý, đặc biệt trong kỹ thuật thường gặp khái niệm trường: Trường nhiệt độ, từ trường, điện trường,… Khái niệm trường trong toán học là tổng quát hóa các trường hợp cụ thể đó. Miền ( Omega in {{mathbb{R}}^{3}} ) xác định một…
Công thức Gauss – Ostrogradski
3.8. Công thức Gauss – Ostrogradski Dưới đây ta có công thức liên hệ giữa tích phân bội ba và tích phân mặt loại hai, gọi đó là công thức Gauss – Ostrogradski. Định lí 3.9 (Gauss – Ostroradski): Giả sử V là miền giới nội trong ( {{mathbb{R}}^{3}} ) có biên là mặt S…
Công thức Stokes
3.7. Công thức Stokes Dưới đây ta sẽ có công thức mở rộng công thức Green, đó là mối liên hệ giữa tích phân đường loại hai trong không gian với tích phân mặt loại hai. Định lí 3.7 (Stokes): Giả sử mặt cong S định hướng được, trơn từng mảnh có biên là đường…
Tích phân mặt loại hai
Chương 3. Tích phân đường và tích phân mặt 3.6.1. Mặt định hướng Mặt cong S trơn gọi là định hướng được nếu vectơ pháp tuyến đơn vị ( vec{n}(M) ) hoàn toàn xác định tại mọi ( Min S ) (có thể trừ biên của S) và biến đổi liên tục khi M chạy…
Tích phân mặt loại một
3.5. Tích phân mặt loại một 3.5.1. Định nghĩa Cho hàm số f(M)=f(x,y,z) xác định trên mặt cong S. + Chia mặt trong S thành n mảnh không dẫm lên nhau, gọi tên và diện tích của mảnh thứ i là ( Delta {{S}_{i}},,,i=overline{1,n} ) và kí hiệu đường kính của mảnh thứ i là …
Định lí bốn mệnh đề tương đương
3.4. Định lí bốn mệnh đề tương đương Xuất phát từ công thức Green (3.20), sau đây ta sẽ nhận được các điều kiện để biểu thức ( P(x,y)dx+Q(x,y)dy ) là vi phân toàn phần của hàm ( u(x,y) ) nào đó; để tích phân đường của một biểu thức không phụ thuộc vào dạng…
Công thức Green
3.3. Công thức Green Giả sử D là miền liên thông, bị chặn có biên là L gồm một hay nhiều đường cong kín trơn hoặc trơn từng khúc. Sau đây ta sẽ đưa ra công thức liên hệ giữa tích phân đường loại hai dọc theo L và tích phân bội hai trên miền…
Tích phân đường loại hai
3.2. Tích phân đường loại hai 3.2.1. Bài toán mở đầu: Tính công của lực biến đổi Bài toán: Một chất điểm M di chuyển dọc theo một cung phẳng ( oversetfrown{AB} ) từ điểm A đến điểm B dưới tác dụng của lực ( vec{F}(M)=P(M)vec{i}+Q(M)vec{j}=(P;Q),,,Min oversetfrown{AB} ). Hãy tính công W của lực đó…
Tích phân đường loại một
3.1. Tích phân đường loại một Giới thiệu Tích phân đường và tích phân mặt là sự mở rộng của tích phân nhiều lớp trên hai phương diện: lấy tích phân trên các cung cong thay cho trên đoạn thẳng, tích phân trên mặt cong thay cho miền phẳng, đặc biệt để ý đến việc…
Công thức tính tích phân bội ba trong tọa độ cầu
2.4.3. Công thức tính tích phân bội ba trong tọa độ cầu a) Tọa độ cầu Tọa độ cầu của một điểm ( M(x,y,z)in Oxyz ) là bộ ba số ( (r,theta ,varphi ) ) trong đó ( r=left| overrightarrow{OM} right|,,,theta ) là góc giữa trục Oz và (overrightarrow{OM} ), ( varphi ) là góc…
Công thức tính tích phân bội ba trong tọa độ trụ
2.4.2. Công thức tính tích phân bội ba trong tọa độ trụ a) Tọa độ trụ Tọa độ trụ của điểm ( M(x,y,z)in Oxyz ) là bộ ba số sắp thứ tự ( (r,varphi ,z) ) trong đó ( (r,varphi ) ) là tọa độ cực của điểm ( M'(x,y) ), hình chiếu của M…
Công thức tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ Descartes
2.4.1. Công thức tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ Descartes Định lí 2.3: Nếu ( f(x,y,z) ) liên tục trong miền V cho bởi hệ bất phương trình: ( left{ begin{align} & ale xle b \ & {{y}_{1}}(x)le yle {{y}_{2}}(x) \ & {{z}_{1}}(x,y)le yle {{z}_{2}}(x,y) \ end{align} right.,,,,,,,,,,,,(2.18) ) thì ( iiintlimits_{V}{f(x,y,z)dxdydz}=intlimits_{a}^{b}{dx}intlimits_{{{y}_{1}}(x)}^{{{y}_{2}}(x)}{dy}intlimits_{{{z}_{1}}(x,y)}^{{{z}_{2}}(x,y)}{f(x,y,z)dz},,,,,,,,,,,,(2.19)…
Tích phân bội ba (Tích phân 3 lớp)
2.3. Tích phân bội ba (Tích phân 3 lớp) 2.3.1. Bài toán mở đầu: Tính khối lượng vật thể Bài toán: Cho vật thể V không đồng chất, biết khối lượng riêng là ( rho =rho (x,y,z),,,(x,y,z)in V ). Hãy tính khối lượng của vật thể V. Cách tính: Tương tự như tích phân bội…
Công thức tính tích phân kép trong tọa độ cực
2.2.2. Công thức tính tích phân kép trong tọa độ cực Trước khi đưa ra công thức tính tích phân kép trong tọa độ cực, ta thừa nhận định lí sau liên quan đến phép đổi biến tích phân kép. Định lí 2.2: Giả sử ( f(x,y) ) liên tục trên miền ( Dsubset Oxy…
Công thức tính tích phân kép trong tọa độ Descartes
2.2.1 Công thức tính tích phân kép trong tọa độ Descartes Định lí 2.1. Nếu hàm số ( f(x,y) )liên tục trên miền D cho bởi hệ bất phương trình: ( left{ begin{align} & ale xle b \ & {{varphi }_{1}}(x)le yle {{varphi }_{2}}(x) \ end{align} right. ) thì ( iintlimits_{D}{f(x,y)dxdy}=intlimits_{a}^{b}{dx}intlimits_{{{varphi }_{1}}(x)}^{{{varphi }_{2}}(x)}{f(x,y)dy},,,,,,,,,,,,(2.10) ) Chứng…
Tích phân bội hai (Tích phân kép)
2.1. Tích phân bội hai (Tích phân kép) 2.1.1 Bài toán mở đầu Bài toán: Cho vật thể (Vin {{mathbb{R}}^{3}}) giới hạn bởi các mặt sau đây: mặt phẳng Oxy, mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz và đường chuẩn L là biên của miền đóng hữu hạn ( Dsubset {{mathbb{R}}^{2}} )…
Phương trình tuyến tính với hệ số hằng
3.3. Phương trình tuyến tính với hệ số hằng Trong phần này, ta chỉ khảo sát dạng phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số là các hằng số thực. Dựa vào cấu trúc nghiệm trong các mục trước, ta cũng có thể giải được các phương trình vi phân tuyến tính…
Phương trình tuyến tính cấp hai
3.2. Phương trình tuyến tính cấp hai 1. Định nghĩa + Phương trình tuyến tính cấp hai thuần nhất là phương trình vi phân cấp hai có dạng: ( {y}”+p(x){y}’+q(x)y=0,,,,,,,,(1) ) Trong đó ( p(x),,,q(x) ) là các hàm số liên tục. + Phương trình tuyến tính cấp hai không thuần nhất là phương trình…
Các dạng phương trình vi phân khuyết
3.1. Các dạng phương trình vi phân khuyết 1. Phương trình khuyết y và y’ + Định nghĩa: Phương trình khuyết y và y’ là phương trình vi phân có dạng ( {y}”=f(x),,,,,,,,,,,,(1) ) + Phương pháp giải: – Bước 1. Tích phân hai vế của (1), ta được ( {y}’=int{f(x)dx}=varphi (x)+{{C}_{1}} ). – Bước…
Một số dạng phương trình vi phân thường gặp
2.3. Một số dạng phương trình vi phân thường gặp 1. Phương trình tách biến + Định nghĩa: Phương trình tách biến (hay còn gọi là phương trình với biến phân ly) là phương trình vi phân có dạng ( f(x)dx+g(y)dy=0,,,,,,,,,(1) ). + Phương pháp giải: – Bước 1. Từ phương trình đã cho ta…
Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm
2.2. Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm 1. Bài toán Cauchy Bài toán Cauchy là bài toán đi tìm hàm số ( y=y(x) ) thỏa phương trình ( {y}’=f(x,y) ) với điều kiện đầu ( y({{x}_{0}})={{y}_{0}} ). Đồ thị nghiệm của bài toán là đường cong tích phân đi qua điểm ( {{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})…
Khái niệm phương trình vi phân cấp 1
2.1. Khái niệm phương trình vi phân cấp 1 1. Định nghĩa + Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có dạng tổng quát: ( F(x,y,{y}’)=0,,,,,,,,,,(2) ). Nếu từ (2), ta giải được theo ( {y}’ ) thì (2) trở thành: ( {y}’=f(x,y) ). + Nghiệm của (2) có chứa hằng ( Cin…
Khái niệm phương trình vi phân
1.2. Khái niệm phương trình vi phân + Phương trình chứa đạo hàm hay vi phân của một hay vài hàm số cần tìm được gọi là phương trình vi phân. Phương trình chứa đạo hàm của hàm số với một biến độc lập được gọi là phương trình vi phân thường, phương trình chứa…
Một số mô hình vật lý
1.1. Một số mô hình vật lý + Xét vật có khối lượng m được thả rơi tự do gần mặt đất. Chọn chiều rơi của vật là chiều dương. Gọi v(t), a(t) và F(t) lần lượt là vectơ gia tốc rơi của vật và hợp lực tác động lên vật tại thời điểm t.…
Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất
3.2. Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất I. Các khái niệm cơ bản về chuyển động a) Định nghĩa Cho miền ( bar{D}subset {{mathbb{R}}^{2}} ) đóng và bị chặn, ( bar{D}=Dcup partial D ). Giả sử hàm số ( z=f(x,y) ) liên tục trên ( bar{D} ) và khả vi trong D…
Cực trị địa phương
3.1. Cực trị địa phương 1. Định nghĩa + Giả sử hàm số ( z=f(x,y) ) xác định trong miền D chứa ( {{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}) ). Nếu với mọi điểm M(x,y) thuộc lân cận của M0 nhưng khác M0 mà hiệu ( Delta f=f(M)-f({{M}_{0}})ne 0 ) có duấ không đổi thì ta nói rằn hàm số…
Khai triển Taylor của hàm số hai biến
2.6. Khai triển Taylor của hàm số hai biến Công thức + Giả sử hàm số f(x,y) có đạo hàm riêng đến cấp ( (n+1) ) liên tục trong một lân cận V có điểm ( {{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}) ). Giả sử điểm ( M({{x}_{0}}+Delta x,,{{y}_{0}}+Delta y) ) cũng thuộc V thì có khai triển Taylor của…
Đạo hàm theo hướng – Vectơ gradient
2.5. Đạo hàm theo hướng – Vectơ gradient 1. Hàm vectơ + Định nghĩa 1.14. – Ánh xạ ( vec{r}:Tsubset mathbb{R}to {{mathbb{R}}^{n}} ) ( tmapsto vec{r}(t)=left( {{x}_{1}}(t),{{x}_{2}}(t),…,{{x}_{n}}(t) right) ) được gọi là một hàm vectơ. – Đạo hàm của hàm vectơ được xác định: ({vec{r}}'(t)=underset{tto {{t}_{0}}}{mathop{lim }},frac{vec{r}(t)-vec{r}({{t}_{0}})}{t-{{t}_{0}}}=underset{tto {{t}_{0}}}{mathop{lim }},left( frac{{{x}_{1}}(t)-{{x}_{1}}({{t}_{0}})}{t-{{t}_{0}}},…,frac{{{x}_{n}}(t)-{{x}_{n}}({{t}_{0}})}{t-{{t}_{0}}} right)). Vậy ta có công…
Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần cấp cao
2.4. Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần cấp cao 1. Đạo hàm riêng cấp cao + Định nghĩa 1.12. Các đạo hàm riêng (nếu có) của các hàm số ( {{{f}’}_{x}}(x,y),,,{{{f}’}_{y}}(x,y) ) được gọi là các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số f(x,y), kí hiệu là: ({{{f}”}_{{{x}^{2}}}}={{({{{f}’}_{x}}{)}’}_{x}}) hay (frac{{{partial }^{2}}f}{partial {{x}^{2}}}=frac{partial…
Đạo hàm của hàm số ẩn
2.3. Đạo hàm của hàm số ẩn 1. Hàm số ẩn một biến + Định nghĩa 1.10 Cho hàm số hai biến ( F(x,y) ) xác định trong miền mở ( Dsubset {{mathbb{R}}^{2}} ) chứa điểm ( {{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}) ). Giả sử với mọi x thuộc lân cận của x0, tồn tại giá trị y duy…
Đạo hàm của hàm số hợp
2.2. Đạo hàm của hàm số hợp 1. Định nghĩa 1.9 + Cho tập khác rỗng ( Dsubset {{mathbb{R}}^{n}} ). Xét hai ánh xạ ( g:Dto {{mathbb{R}}^{m}},({{x}_{1}},…,{{x}_{n}})mapsto ({{u}_{1}},…,{{u}_{m}}) ) và ( f:{{mathbb{R}}^{m}}supset g(D)to mathbb{R},({{u}_{1}},…,{{u}_{m}})mapsto f({{u}_{1}},…,{{u}_{m}}) ). Ánh xạ tích ( fcirc g:{{mathbb{R}}^{n}}supset Dto mathbb{R} ) ( ({{x}_{1}},…,{{x}_{n}})mapsto f({{u}_{1}}({{x}_{1}},…,{{x}_{n}}),…,{{u}_{m}}({{x}_{1}},…,{{x}_{n}})) ) được gọi là hàm số hợp…
Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần
2.1. Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần 1. Đạo hàm riêng Định nghĩa 1.7. Giả sử hàm số ( f(x,y) )xác định trên miền mở ( Dsubset {{mathbb{R}}^{2}} ) chứa điểm ( {{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}) ). Cố định ( y={{y}_{0}} ), ta có hàm số một biến ( f(x,{{y}_{0}}) ). Nếu hàm số ( f(x,{{y}_{0}})…
Tính liên tục của hàm số hai biến
1.4. Tính liên tục của hàm số hai biến Định nghĩa 1.6 + Hàm số ( f(x,y) ) được gọi là liên tục tại điểm ( ({{x}_{0}},{{y}_{0}})in {{D}_{f}}subset {{mathbb{R}}^{2}} ) nếu ( underset{(x,y)to ({{x}_{0}},{{y}_{0}})}{mathop{lim }},f(x,y)=f({{x}_{0}},{{y}_{0}}) ). + Hàm số ( f(x,y) ) được gọi là liên tục trên miền ( Dsubset {{mathbb{R}}^{2}} ) nếu (…
Giới hạn của hàm số hai biến
1.3. Giới hạn của hàm số hai biến 1. Định nghĩa 1.3. Trong mặt phẳng Oxy, điểm ( {{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}) ) được gọi là điểm tụ của dãy điểm ( {{left{ {{M}_{n}}({{x}_{n}},{{y}_{n}}) right}}_{nin {{mathbb{Z}}^{+}}}} ) nếu mọi lân cận của điểm ( {{M}_{0}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}) ) đều chứa vô số phần tử của dãy. + Điểm O(0,0) là…
Hàm số nhiều biến
1.2. Hàm số nhiều biến Định nghĩa 1.2. Trong ( {{mathbb{R}}^{n}} ) cho tập D khác rỗng. Ánh xạ ( begin{align} & f:Dto mathbb{R} \ & ({{x}_{1}},{{x}_{2}},…,{{x}_{n}})mapsto u=f({{x}_{1}},{{x}_{2}},…,{{x}_{n}}) \ end{align} ) được gọi là hàm số n biến. Tập D được gọi là miền xác định của hàm số f, kí hiệu là ( {{D}_{f}}…
Tập hợp trong R^n
1.1. Tập hợp trong ( {{mathbb{R}}^{n}} ) Định nghĩa 1.1 Xét không gian Euclide n chiều ( {{mathbb{R}}^{n}} ) ( (nge 2) ) và tập hợp ( Dsubset {{mathbb{R}}^{n}} ). + Một phần tử ( xin {{mathbb{R}}^{n}} ) là một bộ n số thực ( ({{x}_{1}},{{x}_{2}},…,{{x}_{n}}),,({{x}_{i}}in mathbb{R},,,i=1,…,n) ). Điểm M biểu diễn phần tử x…
