Bài tập về tích phân từng phần
4.2.2. Bài tập về tích phân từng phần 4.2.2. Phép tích phân từng phần Định lí: Nếu ( u,v:[a,b]to mathbb{R} ) và ( u,vin {{C}^{1}} ) trên [a,b] thì ( intlimits_{a}^{b}{{u}'(x)cdot v(x)dx}=left. u(x)cdot v(x) right|_{a}^{b}-intlimits_{a}^{b}{u(x)cdot {v}'(x)dx} ). Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 1 – Calculus I Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,… …
Bài tập về phương pháp đổi biến
4.2.1. Bài tập về phương pháp đổi biến 4.2.1. Phép đổi biến + Định lí 1: Nếu ( varphi :[alpha ,beta ]to mathbb{R} ) thuộc lớp C1 trên ( [alpha ,beta ] ), ( f:[a,b]to mathbb{R} ) thuộc lớp C0 trên ( [a,b] ) và ( varphi ([alpha ,beta ])subset [a,b] ). Khi đó: (…
Bài tập về nguyên hàm – tích phân hàm lượng giác
4.3.5. Bài tập về nguyên hàm – tích phân hàm lượng giác 1. Tích phân dạng ( int{Rleft( sin x,cos x right)dx},,,,,,,(4.11) )Trong đó ( Rleft( u,v right) ) là hàm hữu tỉ của các biến u và v luôn luôn có thể hữu tỉ hóa được nhờ phép đổi biến ( t=tan frac{x}{2},,,xin left(…
Bài tập về nguyên hàm – tích phân vô tỉ
4.3.4. Bài tập về nguyên hàm – tích phân vô tỉ Một số nguyên hàm hàm vô tỉ thường gặp có thể tính được bằng phương pháp hữu tỷ hóa hàm dưới dấu nguyên hàm. Nội dung của phương pháp này là tìm một phép biến đổi đưa nguyên hàm đã cho của hàm vô…
Bài tập về tích phân các hàm hữu tỉ
4.3.3. Bài tập về tích phân các hàm hữu tỉ I. Các ví dụ mẫu Ví dụ 1. Tính ( I=int{frac{x}{left( x-1 right){{left( x+1 right)}^{2}}}dx} ). Nhận Dạy Kèm môn Giải Tích 1 – Calculus I Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,… Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực…
Cách tính tích phân bất định của các hàm số hữu tỉ
4.3.2. Cách tính tích phân bất định của các hàm số hữu tỉ I. Cách tính tích phân bất định của các hàm số hữu tỉ + Tích phân các phân thức tối giản loại thứ nhất ( I=int{frac{1}{{{(x-a)}^{n}}}dx},,,ain mathbb{R} ). – Nếu ( n=1 ) thì ( int{frac{1}{x-a}dx}=ln left| x-a right|+C ), với (…
Bài tập về Tính độ dài cung và diện tích mặt tròn xoay
4.4.2. Bài tập về Tính độ dài cung và diện tích mặt tròn xoay 1. Nếu đường cong ( mathcal{L}left( A,B right) ) được cho bởi phương trình ( y=y(x),,,xin left[ a,b right] ) (hay ( x=g(y) )) hoặc bởi các phương trình tham số ( x=varphi (t),,,y=psi (t) ) thì vi phân độ dài…
Bài tập về diện tích hình phẳng và thể tích vật thể
4.4.1. Bài tập về diện tích hình phẳng và thể tích vật thể I. Diện tích hình phẳng 1. Diện tích hình thang cong D giới hạn bởi đường cong ( mathcal{L} ) có phương trình ( y=f(x),,,f(x)ge 0,,,forall xin left[ a;b right] ) và các đường thẳng ( x=a,,,x=b ) và trục Ox được…
Bài tập về nguyên hàm (tích phân bất định)
4.3.1. Bài tập về nguyên hàm (tích phân bất định) Định nghĩa 4.1.1. Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trên khoảng nào đó nếu F(x) liên tục trên khoảng đó và khả vi tại mỗi điểm trong của khoảng và ( {F}'(x)=f(x) ). Định lí. 4.1.1. (Về sự tồn tại nguyên…
Bài tập về tích phân suy rộng của hàm không bị chặn
4.5.2. Bài tập về tích phân suy rộng của hàm không bị chặn 1. Giả sử hàm f(x) xác định trên khoảng ( left[ a,b right) ) và khả tích trên mọi đoạn ( left[ a,xi right],,,xi <b ). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn ( underset{xi to {{b}^{-}}}{mathop{lim }},intlimits_{0}^{xi }{f(x)dx},,,,,,,(4.32) ) thì giới…
Bài tập về tích phân suy rộng cận vô hạn
4.5.1. Bài tập về tích phân suy rộng cận vô hạn 1. Giả sử hàm f(x) xác định ( forall xge a ) và khả tích trên mọi đoạn ( left[ a,b right] ). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn ( underset{bto +infty }{mathop{lim }},intlimits_{a}^{b}{f(x)dx},,,,,,,(4.24) ) thì giới hạn đó được gọi là tích…
Hàm liên tục
2.3. Hàm liên tục I. Các khái niệm cơ bản về chuyển động Định nghĩa 2.3.1. Hàm f(x) xác định trong lân cận của điểm ( {{x}_{0}} ) được gọi là liên tục tại điểm đó nếu ( underset{xto {{x}_{0}}}{mathop{lim }},f(x)=f({{x}_{0}}) ). Định nghĩa 2.3.1 tương đương với Định nghĩa 2.3.1*. Hàm f(x) xác định…
Giới hạn hàm một biến
2.2. Giới hạn hàm một biến I. Các khái niệm và định lí cơ bản về giới hạn Định nghĩa giới hạn của các hàm đối với năm trường hợp: ( xto a,,,xto apm 0,,,xto pm infty ) được phát biểu như sau: 1) Số A được gọi là giới hạn của hàm f(x) tại…
Chứng minh sự hội tụ của dãy số dựa trên điều kiện cần và đủ để dãy hội tụ (nguyên lý hội tụ Bolzano-Cauchy)
2.1.4. Chứng minh sự hội tụ của dãy số dựa trên điều kiện cần và đủ để dãy hội tụ (nguyên lý hội tụ Bolzano-Cauchy) Trên đây ra đã nêu hai phương pháp chứng minh sự hội tụ cảu dãy. Hai phương pháp này không áp dụng được đối với các dãy không đơn điệu…
Chứng minh sự hội tụ của dãy số dựa trên điều kiện đủ để dãy hội tụ (nguyên lý Bolzano-Weierstrass)
2.1.3. Chứng minh sự hội tụ của dãy số dựa trên điều kiện đủ để dãy hội tụ (nguyên lý Bolzano-Weierstrass) Dãy số ( {{a}_{n}} ) được gọi là: i) Dãy tăng nếu ( {{a}_{n+1}}>{{a}_{n}},,,forall n ). ii) Dãy giảm nếu ( {{a}_{n+1}}<{{a}_{n}},,,forall n ). Các dãy tăng hoặc giảm còn được gọi là dãy…
Chứng minh sự hội tụ của dãy số dựa trên các định lí về giới hạn
2.1.2. Chứng minh sự hội tụ của dãy số dựa trên các định lí về giới hạn Để tính giới hạn của dãy số, người ta thường sử dụng các định lí và khái niệm sau đây: Giả sử ( lim {{a}_{n}},,,lim {{b}_{n}}=b ). a) ( lim ({{a}_{n}}pm {{b}_{n}})=lim {{a}_{n}}pm lim {{b}_{n}}=apm b ). b)…
Các bài toán liên quan tới định nghĩa giới hạn
2.1.1. Các bài toán liên quan tới định nghĩa giới hạn Hàm số xác định trên tập hợp ( mathbb{N} ) được gọi là dãy số vô hạn. Dãy số thường được viết dưới dạng: ( {{a}_{1}},{{a}_{2}},…,{{a}_{n}},…,,,,,,,,(2.1) ) hoặc ( {{{a}_{n}}} ), trong đó ( {{a}_{n}}=f(n),,nin mathbb{N} ) được gọi là số hạng tổng quát…
Công thức Taylor
3.3.3. Công thức Taylor Giả sử hàm ( f(x) ) xác định trong lân cận nào đó của điểm ( {{x}_{0}} ) và n lần khả vi tại điểm ( {{x}_{0}} ) thì ( f(x)=f({{x}_{0}})+frac{{f}'({{x}_{0}})}{1!}(x-{{x}_{0}})+frac{{f}”({{x}_{0}})}{2!}{{(x-{{x}_{0}})}^{2}}+cdot cdot cdot +frac{{{f}^{(n)}}({{x}_{0}})}{n!}{{(x-{{x}_{0}})}^{n}}+oleft( {{(x-{{x}_{0}})}^{n}} right) ) Khi ( xto {{x}_{0}} ) hay: ( f(x)=sumlimits_{k=0}^{n}{frac{{{f}^{(k)}}({{x}_{0}})}{k!}{{(x-{{x}_{0}})}^{k}}+oleft( {{(x-{{x}_{0}})}^{n}} right)},,,xto {{x}_{0}},,,,,(3.15) ) Đa thức:…
Khử các dạng vô định. Quy tắc L’Hospital
3.3.2. Khử các dạng vô định. Quy tắc L’Hospital Trong chương trước ta đã đề cập đến việc khử các dạng vô định. Bây giờ ta trình bày quy tắc L’Hospital – công cụ cơ bản để khử các dạng vô định. a) Dạng vô định ( frac{0}{0} ). Giả sử hai hàm ( f(x)…
Các định lí cơ bản về hàm khả vi
3.3.1. Các định lí cơ bản về hàm khả vi + Định lí Rolle. Giả sử: i) f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. ii) f(x) có đạo hàm hữu hạn trong (a;b). iii) ( f(a)=f(b) ). Khi đó tồn tại điểm ( xi :a<xi <b ) sao cho ( f(xi )=0 ). + Định lí…
Bài tập về Vi phân
3.2.3. Bài tập về Vi phân I. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết Ví dụ 1. Tính vi phân df nếu a) ( f(x)=ln left( arctan (sin x) right) ). b) ( f(x)=xsqrt{64-{{x}^{2}}}+64arcsin frac{x}{8} ). Hướng dẫn giải: a) Áp dụng các tính chất của vi phân ta có: (df=frac{dleft[ arctan (sin x)…
Vi phân cấp cao
3.2.2. Vi phân cấp cao Giả sử x là biến độc lập và hàm ( y=f(x) ) khả vi trong lân cận nào đó của điểm ( {{x}_{0}} ). Vi phân thứ nhất ( df={f}'(x)dx ) là hàm của hai biến x và dx, trong đó dx là số tùy ý không phụ thuộc vào…
Vi phân cấp 1
3.2.1. Vi phân cấp 1 Giả sử hàm ( y=f(x) ) xác định trong lân cận nào đó của điểm ( {{x}_{0}} ) và ( Delta x=x-{{x}_{0}} ) là số gia của biến độc lập. Hàm ( y=f(x) ) có vi phân cấp 1 (vi phân thứ nhất) tại điểm ( {{x}_{0}} ) nếu khi…
Bài tập tự luyện về Đạo hàm cấp 1 và đạo hàm cấp cao
3.1.4. Bài tập tự luyện về Đạo hàm cấp 1 và đạo hàm cấp cao Câu 1. Tính đạo hàm ( {y}’ ) của hàm ( y=f(x) ) nếu: 1) ( y=sqrt[4]{{{x}^{3}}}+frac{5}{{{x}^{2}}}-frac{3}{{{x}^{3}}}+2 ) (Đs: ( frac{3}{4sqrt[4]{x}}-frac{10}{{{x}^{3}}}+frac{9}{{{x}^{4}}} )) 2) ( y={{log }_{2}}x+3{{log }_{3}}x ) (Đs: ( frac{ln 24}{xln 2cdot ln 3} )) 3) ( y={{5}^{x}}+{{6}^{x}}+{{left( frac{1}{7}…
Bài tập mẫu về Đạo hàm cấp 1 và đạo hàm cấp cao
3.1.3. Bài tập mẫu về Đạo hàm cấp 1 và đạo hàm cấp cao Ví dụ 1. Tính đạo hàm ( {y}’ ) nếu: a) ( y=ln sqrt[3]{frac{{{e}^{x}}}{1+cos x}};,,xne pi (2n+1),,,nin mathbb{N} ). b) ( y=frac{1+{{x}^{2}}}{sqrt[3]{{{x}^{4}}}{{sin }^{7}}x},,,xne pi n,,,nin mathbb{N} ). Hướng dẫn giải: a) Trước hết ta đơn giản biểu thức của hàm y…
Đạo hàm cấp cao
3.1.2. Đạo hàm cấp cao Đạo hàm ( {f}'(x) ) được gọi là đạo hàm cấp 1 (hay đạo hàm bậc nhất). Đạo hàm của ( {f}'(x) ) được gọi là đạo hàm cấp hai (hay đạo hàm thứ hai) của hàm ( f(x) ) và được kí hiệu là ( {y}” ) hay (…
Đạo hàm cấp 1
3.1.1. Đạo hàm cấp 1 Giả sử hàm ( y=f(x) ) xác định trong ( delta ) -lân cận của điểm ( {{x}_{0}}left( mathcal{U}({{x}_{0}};delta ) right)=left{ xin mathbb{R}:left| x-{{x}_{0}} right|<delta right} ) và ( Delta f({{x}_{0}})=f({{x}_{0}}+Delta x)-f({{x}_{0}}) ) là số gia của nó tại điểm ( {{x}_{0}} ) tương ứng với số gia ( Delta…
Chuỗi Fourier
5.4. Chuỗi Fourier 5.4.1. Các khái niệm chung + Chuỗi lượng giác Chuỗi hàm có dạng ( frac{{{a}_{0}}}{2}+sumlimits_{n=1}^{infty }{{{a}_{n}}cos nx+{{b}_{n}}sin nx},,,,,,,,,,,(5) ) Trong đó ( {{a}_{0}},{{a}_{n}},{{b}_{n}},n=1,2,… ) là các hằng số, được gọi là một chuỗi lượng giác. + Điều kiện hội tụ của chuỗi lượng giác Định lí 1: Nếu các chuỗi số (…
Chuỗi lũy thừa
5.3. Chuỗi lũy thừa 5.3.1. Các khái niệm chung về chuỗi lũy thừa + Định nghĩa chuỗi lũy thừa Một chuỗi hàm có dạng ( sumlimits_{i=1}^{infty }{{{a}_{i}},{{x}^{i}}},,,{{a}_{i}}in mathbb{R},,,forall i,,,,,,,,,,,(4) ) hoặc ( sumlimits_{i=1}^{infty }{{{a}_{i}}{{(x-a)}^{i}}},,,a ) là hằng số. Gọi là một chuỗi lũy thừa. Trong chuỗi lũy thừa trên ( {{a}_{i}} ) là các hằng…
Chuỗi hàm
5.2. Chuỗi hàm 5.2.1. Các khái niệm chung về chuỗi hàm + Định nghĩa chuỗi hàm Cho dãy hàm thực ( left( {{f}_{n}}(x) right),,,xin (a,b) ), gọi ( {{f}_{1}}(x)+{{f}_{2}}(x)+…+{{f}_{n}}(x)+…+=sumlimits_{k=1}^{infty }{{{f}_{k}}(x)},,,,,,,,,,,,,(***) ) là một chuỗi hàm xác định trên ( (a,b) ). + Miền hội tụ của chuỗi hàm (I) Điểm ( {{x}_{0}}in (a,b) ) là…
Chuỗi số
5.1. Chuỗi số 5.1.1. Các khái niệm chung + Định nghĩa chuỗi số và sự hội tụ của chuỗi số (I) Cho dãy số thực ( ({{a}_{n}}),,,{{a}_{n}}in mathbb{R} ) với mọi n. Gọi ( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+…+{{a}_{n}}+… ) là một chuỗi số thực. Kí hiệu chuỗi số trên là (sumlimits_{k=1}^{infty }{{{a}_{k}}},,,,,,,,,,(1)) Số thực ak với k xác…
Tích phân suy rộng
4.5. Tích phân suy rộng 4.5.1. Tích phân suy rộng với cận vô hạn + Định nghĩa (1) Cho ( f:[a;+infty )to mathbb{R},,,ain mathbb{R} ), khả tích trên ( [a,A],,,forall A>a ). Tích phân suy rộng của f với cận ( +infty ) được kí hiệu là ( intlimits_{a}^{+infty }{f(x)dx} ). Nói rằng tích phân…
Một số ứng dụng của tích phân xác định
4.4. Một số ứng dụng của tích phân xác định 4.4.1. Tính diện tích hình phẳng + Miền phẳng đạo hàm bởi các đường cong trong tọa độ Descartes Giả sử miền phẳng D giới hạn bởi các đường: ( x=a,,,x=b,,,(a<b),,,y=f(x),,,y=g(x) ), trong đó ( f(x),g(x) ) liên tục từng khúc trên [a,b]. Gọi diện…
Phương pháp tính tích phân bất định
4.3. Phương pháp tính tích phân bất định Ta đã biết rằng (int{f(x)dx}=F(x)+C) trên X, trong đó F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên X và C là hằng số tùy ý. 4.3.1. Tính chất cơ bản của tích phân bất định Cho ( f(x),g(x) ) có nguyên hàm, ( lambda in mathbb{R} ).…
Hai phương pháp cơ bản tính tích phân xác định
4.2. Hai phương pháp cơ bản tính tích phân xác định 4.2.1. Phép đổi biến + Định lí 1: Nếu ( varphi :[alpha ,beta ]to mathbb{R} ) thuộc lớp C1 trên ( [alpha ,beta ] ), ( f:[a,b]to mathbb{R} ) thuộc lớp C0 trên ( [a,b] ) và ( varphi ([alpha ,beta ])subset [a,b] ).…
Khái niệm về tích phân xác định
4.1. Khái niệm về tích phân xác định 4.1.1. Định nghĩa tích phân xác định Cho ( f:[a,b]to mathbb{R},,,a<b ). (1) Ta gọi một họ hữu hạn các điểm ( ({{x}_{i}}),,,i=overline{0,n} ) sao cho ( a={{x}_{0}}<{{x}_{1}}<…<{{x}_{n-1}}<{{x}_{n}}=b ) là một phân hoạch (hay một cách chia) đoạn [a,b] và gọi ( lambda =underset{0le ile n-1}{mathop{max}},Delta {{x}_{i}}…
