Bài Giảng Toán Cao Cấp

Câu 3. Trong các bài toán sau đây tính đạo hàm \( {y}’ \) hoặc \( {y}” \) của hàm ẩn được xác định bởi các phương trình đã cho:

1)  \( x+\sqrt{xy}+y=a \).  \( {y}’? \) (Đs:  \( \frac{2a-2x-y}{x+2y-a} \))

2)  \( \arctan \frac{y}{x}=\ln \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \).  \( {y}’? \) (Đs:  \( \frac{x+y}{x-y} \))

3)  \( {{e}^{x}}\sin y-{{e}^{-y}}\cos x=0 \).  \( {y}’? \) (Đs:  \( -\frac{{{e}^{x}}\sin y+{{e}^{-y}}\sin x}{{{e}^{x}}\cos y+{{e}^{-y}}\cos x} \))

4)  \( {{x}^{2}}y+\arctan \frac{y}{x}=0 \).  \( {y}’? \) (Đs:  \( \frac{-2{{x}^{3}}y-2x{{y}^{3}}+y}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}{{y}^{2}}+x} \))

5)  \( {{e}^{x}}-{{e}^{y}}=y-x \).  \( {y}”? \) (Đs:  \( \frac{({{e}^{y}}-{{e}^{x}})({{e}^{x+y}}-1)}{{{({{e}^{y}}+1)}^{3}}} \))

6)  \( x+y={{e}^{x-y}} \).  \( {y}”? \) (Đs:  \( \frac{4(x+y)}{{{(x+y+1)}^{3}}} \))

7)  \( y=x+\arctan y \).  \( {y}”? \) (Đs:  \( \frac{-(2{{y}^{2}}+2)}{{{y}^{5}}} \))

Câu 4. Trong các bài toán sau đây, tính đạo hàm của hàm ngược với hàm đã cho.

1)  \( y=x+{{x}^{3}},\,\,x\in \mathbb{R} \).  \( {{{x}’}_{y}}? \) (Đs:  \( {{{x}’}_{y}}=\frac{1}{1+3{{x}^{2}}} \))

2)  \( y=x+\ln x,\,\,x>0 \). \( {{{x}’}_{y}}? \) (Đs:  \( {{{x}’}_{y}}=\frac{x}{x+1},\,\,y>0 \))

3)  \( y=x+{{e}^{x}} \).  \( {{{x}’}_{y}}? \) (Đs:  \( {{{x}’}_{y}}=\frac{1}{1+y-x},\,\,y\in \mathbb{R} \))

4)  \( y=chx,\,\,x>0 \).  \( {{{x}’}_{y}}? \) (Đs:  \( {{{x}’}_{y}}=\frac{1}{\sqrt{{{y}^{2}}-1}} \))

5)  \( y=\frac{{{x}^{2}}}{1+{{x}^{2}}},\,\,x<0 \).  \( {{{x}’}_{y}}? \) (Đs:  \( {{{x}’}_{y}}=\frac{{{x}^{3}}}{2{{y}^{2}}},\,\,y\in (0;1) \))

Với giá trị nào của a và b thì hàm \( f(x)=\left\{ \begin{align}& {{x}^{3}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{n }\!\!\tilde{\mathrm{O}}\!\!\text{ u}\,\,x\le {{x}_{0}} \\  & ax+b\,\,\,\text{n }\!\!\tilde{\mathrm{O}}\!\!\text{ u}\,\,x>{{x}_{0}} \\ \end{align} \right. \)  liên tục và khả vi tại điểm  \( x={{x}_{0}} \)?

(Đs: \(a=3x_{0}^{2},\,\,b=-2x_{0}^{3}\))

Câu 5. Xác định \( \alpha \)  và  \( \beta  \) để các hàm sau: a) liên tục khắp nới; b) khả vi khắp nơi nếu:

1)  \( f(x)=\left\{ \begin{align}  & \alpha x+\beta \,\,\,\,\,\,\text{n }\!\!\tilde{\mathrm{O}}\!\!\text{ u}\,\,x\le 1 \\  & {{x}^{2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{n }\!\!\tilde{\mathrm{O}}\!\!\text{ u}\,\,x>1 \\ \end{align} \right. \)

2)  \( f(x)=\left\{ \begin{align}  & \alpha +\beta {{x}^{2}}\,\,\,\,\,\,\text{n }\!\!\tilde{\mathrm{O}}\!\!\text{ u}\,\,\left| x \right|<1 \\  & \frac{1}{\left| x \right|}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{n }\!\!\tilde{\mathrm{O}}\!\!\text{ u}\,\,\left| x \right|\ge 1 \\ \end{align} \right. \)

(Đs: 1)  \( a)\,\,\alpha +\beta =1,\,\,b)\,\,\alpha =2,\beta =-1 \); 2)  \( a)\,\,\alpha +\beta =1,\,\,b)\,\,\alpha =\frac{3}{2},\beta =-\frac{1}{2} \))

Câu 6. Giả sử hàm \( y=f(x) \) xác định trên tia  \( (-\infty ;{{x}_{0}}) \) và khả vi bên trái tại điểm  \( x={{x}_{0}} \). Với giá trị nào của a và b thì hàm  \( f(x)=\left\{ \begin{align}  & f(x)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{n }\!\!\tilde{\mathrm{O}}\!\!\text{ u}\,\,x\le {{x}_{0}} \\  & a{{x}^{2}}+b\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{n }\!\!\tilde{\mathrm{O}}\!\!\text{ u}\,\,x>{{x}_{0}} \\ \end{align} \right. \) khả vi tại điểm  \( x={{x}_{0}}\,\,({{x}_{0}}\ne 0) \)?

(Đs:  \( a=\frac{{f}'({{x}_{0}}-0)}{2{{x}_{0}}},\,\,b=f({{x}_{0}})-\frac{{{x}_{0}}}{2}{f}'({{x}_{0}}-0) \))

Câu 7. Tính đạo hàm \( {y}” \) nếu:

1)  \( y={{e}^{-{{x}^{2}}}} \). (Đs:  \( 2{{e}^{-{{x}^{2}}}}(2{{x}^{2}}-1) \))

2)  \( y=\tan x \).  (Đs:  \( \frac{2\sin x}{{{\cos }^{3}}x} \))

3)  \( y=\sqrt{1+{{x}^{2}}} \). (Đs:  \( \frac{1}{{{(1+{{x}^{2}})}^{3/2}}} \))

4)  \( y=\arcsin \frac{x}{2} \). (Đs:  \( \frac{x}{{{(4-{{x}^{2}})}^{3/2}}} \))

5)  \( y=\arctan \frac{1}{x} \). (Đs:  \( \frac{2x}{{{(1+{{x}^{2}})}^{2}}} \))

6) \( y=x\arcsin x \). (Đs:  \( \frac{2-{{x}^{2}}}{(1-{{x}^{2}})\sqrt{1-{{x}^{2}}}} \))

7)  \( y=f({{e}^{x}}) \). (Đs:  \( {{e}^{x}}{f}'({{e}^{x}})+{{e}^{2x}}{f}”({{e}^{x}}) \))

Câu 8. Tính đạo hàm cấp 3 của y nếu:

1)  \( y=\arctan \frac{x}{2} \). (Đs:  \( \frac{4(3x-4)}{{{(4+{{x}^{2}})}^{3}}} \))

2)  \( y=x{{e}^{-x}} \). (Đs:  \( {{e}^{-x}}(3-x) \))

3)  \( y={{e}^{x}}\cos x \). (Đs:  \( -2{{e}^{x}}(\cos x+\sin x) \))

4)  \( y={{x}^{2}}\sin x \).

5)  \( y={{x}^{3}}{{2}^{x}} \). (Đs:  \( {{2}^{x}}({{x}^{3}}{{\ln }^{3}}2+9{{x}^{2}}{{\ln }^{2}}x+18x\ln 2+6) \))

6)  \( y={{x}^{2}}\sin 2x \). (Đs:  \( -4(2{{x}^{2}}\cos 2x+6x\sin 2x-3\cos 2x) \))

7)  \( y=f({{x}^{2}}) \). (Đs:  \( 12{f}”({{x}^{2}}+8{{x}^{3}}{f}”'({{x}^{2}})) \)).

Câu 9. Tính đạo hàm \( {{y}^{(n)}} \) nếu:

1)  \( y=\sin 3x \). (Đs:  \( {{3}^{n}}\sin \left( 3x+\frac{n\pi }{2} \right) \))

2)  \( y={{e}^{\frac{x}{2}}} \). (Đs:  \( {{e}^{\frac{x}{2}}}{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n}} \))

3)  \( y={{2}^{3x}} \). (Đs:  \( {{2}^{3x}}{{(3\ln 2)}^{n}} \))

4)  \( y={{\cos }^{2}}x \). (Đs:  \( {{2}^{n-1}}\cos \left( 2x+\frac{n\pi }{2} \right) \))

5)  \( y={{(4x+1)}^{n}} \). (Đs:  \( {{4}^{n}}n! \))

6)  \( y=\ln (ax+b) \). (Đs:  \( {{(-1)}^{n-1}}(n-1)!\frac{{{a}^{n}}}{{{(ax+b)}^{n}}} \))

7)  \( y={{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x \). (Đs:  \( {{4}^{n-1}}\cos \left( 4x+\frac{n\pi }{2} \right) \))

Gợi ý: chứng minh rằng  \( {{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\cos 4x \).

8)  \( y={{\sin }^{3}}x \). (Đs:  \( \frac{3}{4}\sin \left( x+\frac{n\pi }{2} \right)-\frac{{{3}^{n}}}{4}\sin \left( 3x+\frac{n\pi }{2} \right) \))

Gợi ý: Dùng công thức  \( \sin 3x=3\sin x-4{{\sin }^{3}}x \).

9)  \( y=\sin \alpha x\cdot \sin \beta x \). (Đs: \(\frac{1}{2}{{(\alpha -\beta )}^{n}}\cos \left[ (\alpha -\beta )x+\frac{n\pi }{2} \right]-\frac{1}{2}{{(\alpha +\beta )}^{n}}\cos \left[ (\alpha +\beta )x+\frac{n\pi }{2} \right]\))

Gợi ý: Biến đổi tích thành tổng.

10)  \( y={{e}^{\alpha x}}\sin \beta x \).

(Đs:  \( {{e}^{\alpha x}}\left[ \sin \beta x\left( {{\alpha }^{n}}-\frac{n(n-1)}{1\cdot 2}{{\alpha }^{n-2}}{{\beta }^{2}}+… \right)+\cos \beta x\left( n{{\alpha }^{n-1}}\beta -\frac{n(n-1)(n-2)}{1\cdot 2\cdot 3}{{\alpha }^{n-3}}{{\beta }^{3}}+… \right)+… \right] \))

Gợi ý: Dùng Quy tắc Leibniz.

11)  \( y={{e}^{x}}(3{{x}^{2}}-4) \). (Đs:  \( {{e}^{x}}\left[ 3{{x}^{2}}+6nx+3n(n-1)-4 \right] \))

12)  \( y=\ln \frac{ax+b}{ax-b}\,\,\,\,\,\,\left( \frac{ax+b}{ax-b}>0 \right) \). (Đs:  \( {{(-1)}^{n-1}}{{a}^{n}}(n-1)!\left[ \frac{1}{{{(ax+b)}^{n}}}-\frac{1}{{{(ax-b)}^{n}}} \right] \))

13)  \( y=\frac{x}{{{x}^{2}}-4x-12} \). (Đs:  \( \frac{{{(-1)}^{n}}n!}{4}\left[ \frac{3}{{{(x-6)}^{n+1}}}+\frac{1}{{{(x-2)}^{n+1}}} \right] \))

14)  \( y=\frac{3-2{{x}^{2}}}{2{{x}^{2}}+3x-2} \). (Đs:  \( {{(-1)}^{n}}n!\left[ \frac{{{2}^{n}}}{{{(2x-1)}^{n+1}}}+\frac{1}{{{(x-2)}^{n+1}}} \right] \))

Gợi ý: ý 13) và 14) cần biểu diễn hàm đã cho dưới dạng tổng các phân thức đơn giản.